Как найти котангенс (ctg): формулы

Что такое котангенс и что он показывает

Котангенс (часто записывают как ctg или cot) — это тригонометрическая функция угла $\alpha$. В прямоугольном треугольнике она показывает отношение прилежащего катета к противолежащему:

• если $\alpha$ — острый угол при вершине треугольника, то
  $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}.$

В аналитической записи котангенс связан с синусом и косинусом:

$\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.$

Формулы, чтобы найти котангенс (выбирайте по данным)

Чтобы понять, как найти котангенс в конкретной задаче, сначала проверьте, какие величины вам уже известны.

1. Через cos и sin
   $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}, \quad \sin(\alpha)\neq 0.$

2. Через катеты прямоугольного треугольника
   Если для угла $\alpha$ прилежащий катет равен $a$, а противолежащий — $b$, то
   $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{a}{b}.$

3. Через тангенс (взаимная обратность)
   $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}, \quad \tan(\alpha)\neq 0.$

Как найти котангенс по прямоугольному треугольнику (самый частый случай)

Если в задаче даны стороны прямоугольного треугольника, обычно проще всего определить котангенс через отношение катетов.

Шаги

1. Найдите нужный угол $\alpha$ (при какой вершине он задан).
2. Определите для этого угла:
   • прилежащий катет (лежит рядом с углом),
   • противолежащий катет (лежит напротив угла).
3. Подставьте в формулу: $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{a}{b}.$

Пример

В прямоугольном треугольнике для угла $\alpha$ прилежащий катет равен $4$, противолежащий — $3$. Тогда $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{4}{3}\approx 1{,}33.$

Быстрая проверка смысла

• Если противолежащий катет меньше прилежащего, котангенс будет больше 1.
• Если катеты равны, котангенс равен 1 (это соответствует углу 45° в “идеальном” треугольнике).

Как найти котангенс, если известны sin и cos

Если в условии даны значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$, используйте определение:

$\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.$

Важное ограничение

Нельзя делить на ноль, поэтому обязательно убедитесь, что $\sin(\alpha)\neq 0$.

Пример

Пусть $\sin(\alpha)=\frac{1}{2}$ и $\cos(\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.$

Как найти котангенс через тангенс

Иногда по условию сразу находится $\tan(\alpha)$, тогда котангенс проще выразить через обратную величину:

$\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}.$

Пример

Если $\tan(\alpha)=2$, то $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{1}{2}=0{,}5.$

Частая ошибка

Путать “обратность”: котангенс не равен тангенсу, а равен обратной величине: $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}.$

Таблица значений ctg для стандартных углов

Для типовых углов (часто встречаются в задачах) котангенс легко запомнить.

• $\operatorname{ctg}(30^\circ)=\sqrt{3}$
• $\operatorname{ctg}(45^\circ)=1$
• $\operatorname{ctg}(60^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\operatorname{ctg}(90^\circ)=0$

При этом котангенс не существует при углах, где $\sin(\alpha)=0$:
$0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \ldots$

Как понять знак котангенса (чтобы не ошибиться в ответе)

Котангенс — это отношение $\cos(\alpha)/\sin(\alpha)$. Поэтому знак определяется тем, где лежит угол.

• ctg(α) > 0 в I и III четвертях (cos и sin одного знака).
• ctg(α) < 0 во II и IV четвертях (cos и sin разных знаков).

Пример для ориентира:

• $\cot(120^\circ)$ отрицательный, потому что $\sin(120^\circ)>0$, а $\cos(120^\circ)<0$.

Частые ошибки при вычислении котангенса

1. Деление на ноль: забывают, что при $\sin(\alpha)=0$ котангенс не определён.
2. Перепутали катеты: при нахождении котангенса в треугольнике важно именно $\text{прилежащий} / \text{противолежащий}$.
3. Смешали градусы и радианы: если используете формулы и/или калькулятор, единицы должны совпадать.
4. Перепутали cot и tan: котангенс — это не “сопутствующий тангенс”, а обратный к тангенсу для одного и того же угла.

Если нужно быстро посчитать: что проверить перед вводом в калькулятор

• Вы правильно выбрали угол $\alpha$ (который “смотрит” на нужные стороны/катеты).
• Используемая формула соответствует данным:
  • есть sin и cos → используйте $\cos/\sin$;
  • есть катеты → используйте $a/b$;
  • есть tan → используйте $1/\tan$.
• Убедились, что знаменатель не равен нулю.

Мини-практика (2 коротких примера)

1. Прямоугольный треугольник: прилежащий катет $9$, противолежащий $6$.
   $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1{,}5.$

2. Дано $\cos(\alpha)=\frac{3}{5}$ и $\sin(\alpha)=\frac{4}{5}$.
   $\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}=0{,}75.$

Если хотите, вы можете написать, какие именно данные даны в вашей задаче (угол, sin/cos или катеты) — и подскажу, какую из формул для котангенса выбрать.