Как найти косинус через синус

Найти косинус угла, зная его синус, — одна из самых частых задач в тригонометрии. Для этого достаточно одного основного тождества и понимания, в какой четверти лежит угол. В этой статье мы разберём формулу, правило знаков и покажем вычисления на конкретных примерах.

Основная формула

Связь между синусом и косинусом одного угла выражается основным тригонометрическим тождеством:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Из него легко выразить косинус:

$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$

Знак «±» означает, что косинус может быть как положительным, так и отрицательным. Чтобы выбрать правильный знак, нужно знать, в какой четверти находится угол α.

Знаки косинуса по четвертям

Если угол выходит за пределы 0°–360°, приведите его к этому диапазону с помощью вычитания или прибавления 360° (период синуса и косинуса равен 360°).

Пример 1: синус положительный, угол в I четверти

Условие: $\sin\alpha = 0,6$, α — острый угол (I четверть). Найти $\cos\alpha$.

1. Вычисляем квадрат синуса: $\sin^2\alpha = 0,36$.
2. Подставляем в тождество: $\cos^2\alpha = 1 - 0,36 = 0,64$.
3. Извлекаем корень: $\cos\alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.
4. В I четверти косинус положительный, поэтому $\cos\alpha = 0,8$.

Проверка: $0,6^2 + 0,8^2 = 0,36 + 0,64 = 1$. Верно.

Пример 2: синус отрицательный, угол в III четверти

Условие: $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$, α ∈ (180°; 270°) — III четверть. Найти $\cos\alpha$.

1. $\sin^2\alpha = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
2. $\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
3. $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \pm0,866$.
4. В III четверти косинус отрицательный, поэтому $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866$.

Этот результат соответствует углу 210° или $\frac{7\pi}{6}$ радиан.

Пример 3: синус табличный, угол в IV четверти

Условие: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, α ∈ (270°; 360°) — IV четверть. Найти $\cos\alpha$.

1. $\sin^2\alpha = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
2. $\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
3. $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
4. В IV четверти косинус положительный, поэтому $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Угол — 315° ($\frac{7\pi}{4}$).

Частные случаи

• Если $\sin\alpha = 0$, то $\cos\alpha = \pm 1$.
• Если $\sin\alpha = 1$ или $\sin\alpha = -1$, то $\cos\alpha = 0$.
• Значение косинуса всегда лежит в отрезке $[-1, 1]$. Если под корнем получается отрицательное число — значит, исходное значение синуса некорректно (не может быть больше 1 или меньше -1).

Как найти синус через косинус (обратная задача)

Алгоритм полностью аналогичен:

$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$

Знак синуса выбирается по четверти:

• I и II четверти → $\sin\alpha > 0$;
• III и IV четверти → $\sin\alpha < 0$.

Пример: $\cos\alpha = 0,8$, α — острый угол. $\sin\alpha = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Что делать, если известен тангенс?

Когда дано значение $\tg\alpha$, найти косинус можно по формуле:

$\cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tg^2\alpha}}$

Знак определяется четвертью так же, как и при поиске через синус. Затем синус находится как $\sin\alpha = \tg\alpha \cdot \cos\alpha$.

Итог

• Для нахождения косинуса по синусу используется тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
• Формула: $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$.
• Знак выбирается по четверти угла.
• Если угол не задан, ответ остаётся с ± — однозначно определить косинус невозможно.

Этот универсальный метод работает для любого угла (в градусах или радианах). Если у вас есть сомнения в знаке — постройте мысленно единичную окружность или воспользуйтесь таблицей знаков из статьи.