Если d получилась отрицательной, это нормально?

Да. Отрицательная разность означает, что прогрессия убывает: каждый следующий член меньше предыдущего на |d|. Например, при d = -5 числа уменьшаются на 5 каждый шаг.

Можно ли найти d, если известны только два первых члена?

Да. Если известны a1 и a2, то d находится сразу как разность соседних членов: d = a2 − a1. Это верно, потому что в арифметической прогрессии шаг одинаков для любых соседних пар.

Как найти d, если известны a_k и a_{k+1}?

Здесь снова работает формула для соседних членов: d = a_{k+1} − a_k. Номер k не важен, потому что разность между любыми двумя соседними членами одинаковая.

Как проверить, что заданные числа — арифметическая прогрессия?

Проверьте, что разности соседних членов одинаковы: a2−a1 = a3−a2 = a4−a3 и т. д. Если это выполняется, числа образуют арифметическую прогрессию и найденное по разности d будет одним и тем же.

Как найти d, если задана формула a_n, например a_n = 3n + 1?

Если a_n записан в виде линейной функции a_n = kn + b, то d равно коэффициенту при n, то есть d = k. Это следует из того, что a_n для АП — линейная функция от n.

Почему в формуле для d появляется деление на (n−1) или (m−k)?

Потому что между a1 и a_n (или между a_k и a_m) шагов ровно (n−1) и (m−k) соответственно. Суммарное изменение делится на число шагов, так как каждый шаг даёт одинаковую прибавку d.

Как найти d в арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии d — это разность (шаг): на сколько каждый следующий член отличается от предыдущего. Ниже — несколько готовых способов, как найти d в зависимости от того, какие данные вам даны.

Главная идея: что такое разность d

Если арифметическая прогрессия имеет члены $a_1, a_2, a_3, \dots$ , то для любых соседних индексов выполняется:

a_{n+1}=a_n+d

Отсюда сразу следует универсальный “смысл” разности: d — это одинаковая разница между любыми двумя соседними членами.

1) Если известны соседние члены

Самый простой случай: даны два соседних члена $a_n$ и $a_{n+1}$ . Тогда:

d=a_{n+1}-a_n

Пример. Даны числа 12, 9, 6, 3. Возьмём соседние:
$d=9-12=-3$ . Значит, прогрессия убывает на 3 каждый шаг.

2) Если известны a₁ и aₙ (первый и n-й)

Используем общую формулу n-го члена:

a_n=a_1+d(n-1)

Выразим $d$ :

d=\frac{a_n-a_1}{n-1}

Важно: делить можно только при $n>1$ . Если $n=1$ , то “разность прогрессии” по сути не определяется, потому что есть только один член.

Пример. Пусть $a_1=3$ , а $a_{10}=48$ . Тогда:

d=\frac{48-3}{10-1}=\frac{45}{9}=5

Проверка: каждый шаг прибавляет 5.

3) Если известны два произвольных члена aₖ и aₘ

Пусть известны $a_k$ и $a_m$ (причём $m\neq k$ ). Между ними ровно $(m-k)$ шагов прогрессии. Поэтому:

d=\frac{a_m-a_k}{m-k}

Пример. В прогрессии известны $a_3=2$ и $a_8=17$ . Тогда:

d=\frac{17-2}{8-3}=\frac{15}{5}=3

4) Через формулу общего члена aₙ (если она дана)

Иногда прогрессия задана формулой, например $a_n$ записана как линейная функция:

a_n=kn+b

Тогда разность равна коэффициенту при $n$ :

d=k

Почему это работает (коротко): для АП $a_n$ всегда линейна по номеру $n$ .

Пример. Если $a_n=3n+1$ , то $d=3$ .
Действительно: $a_1=4$ , $a_2=7$ , разность $7-4=3$ .

5) Если даны три подряд идущих члена

Если известны $a_{n-1}$ , $a_n$ , $a_{n+1}$ , то средний член равен среднему арифметическому соседей:

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

А разность можно найти так:

d=\frac{a_{n+1}-a_{n-1}}{2}

Пример. $a_{n-1}=8$ , $a_{n+1}=14$ . Тогда:

d=\frac{14-8}{2}=3

(соответственно, $a_n$ будет 11).

6) Если известна сумма Sₙ и первый член a₁

Для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)

Выразим $d$ :

d=\frac{\frac{2S_n}{n}-2a_1}{n-1}

Пример. Пусть $a_1=4$ , $n=10$ , $S_{10}=130$ . Тогда:

d=\frac{\frac{2\cdot130}{10}-2\cdot4}{10-1} =\frac{26-8}{9} =\frac{18}{9}=2

Значит, прогрессия увеличивается на 2.

Типичные ошибки при поиске d

Путать разность с модулем. Если $d=-5$ , это убывание, а не “шаг 5”. Правильное значение — именно со знаком.
Ошибаться с делением на количество шагов. В формуле с $a_1$ и $a_n$ делитель всегда $(n-1)$ , потому что между первым и n-м членом именно столько переходов.
Считать, что d зависит от номера n. В арифметической прогрессии d — константа, поэтому для любых пар соседних членов должно получаться одно и то же значение.
Использовать формулы для n=1. Если дан только один член, определить разность нельзя: нет “шага” между элементами.

Быстрая инструкция: какую формулу выбрать

Даны два соседних члена: $d=a_{n+1}-a_n$
Даны $a_1$ и $a_n$ : $d=\dfrac{a_n-a_1}{n-1}$
Даны $a_k$ и $a_m$ : $d=\dfrac{a_m-a_k}{m-k}$
Дана формула $a_n=kn+b$ : $d=k$
Даны $S_n$ и $a_1$ : $d=\dfrac{\frac{2S_n}{n}-2a_1}{n-1}$

Если скажете, какие именно значения вам даны (например, $a_1$ , $a_7$ , $a_3$ и $a_8$ или сумма $S_n$ ), я подскажу, какую формулу применить прямо к вашему случаю.

Похожие калькуляторы и статьи