Как найти d в арифметической прогрессии

В арифметической прогрессии d — это разность (шаг): на сколько каждый следующий член отличается от предыдущего. Ниже — несколько готовых способов, как найти d в зависимости от того, какие данные вам даны.

Главная идея: что такое разность d

Если арифметическая прогрессия имеет члены $a_1, a_2, a_3, \dots$, то для любых соседних индексов выполняется: $a_{n+1}=a_n+d$ Отсюда сразу следует универсальный “смысл” разности: d — это одинаковая разница между любыми двумя соседними членами.

1) Если известны соседние члены

Самый простой случай: даны два соседних члена $a_n$ и $a_{n+1}$. Тогда: $d=a_{n+1}-a_n$ Пример. Даны числа 12, 9, 6, 3. Возьмём соседние:
$d=9-12=-3$. Значит, прогрессия убывает на 3 каждый шаг.

2) Если известны a₁ и aₙ (первый и n-й)

Используем общую формулу n-го члена: $a_n=a_1+d(n-1)$ Выразим $d$: $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$

Важно: делить можно только при $n>1$. Если $n=1$, то “разность прогрессии” по сути не определяется, потому что есть только один член.

Пример. Пусть $a_1=3$, а $a_{10}=48$. Тогда: $d=\frac{48-3}{10-1}=\frac{45}{9}=5$ Проверка: каждый шаг прибавляет 5.

3) Если известны два произвольных члена aₖ и aₘ

Пусть известны $a_k$ и $a_m$ (причём $m\neq k$). Между ними ровно $(m-k)$ шагов прогрессии. Поэтому: $d=\frac{a_m-a_k}{m-k}$

Пример. В прогрессии известны $a_3=2$ и $a_8=17$. Тогда: $d=\frac{17-2}{8-3}=\frac{15}{5}=3$

4) Через формулу общего члена aₙ (если она дана)

Иногда прогрессия задана формулой, например $a_n$ записана как линейная функция: $a_n=kn+b$ Тогда разность равна коэффициенту при $n$: $d=k$ Почему это работает (коротко): для АП $a_n$ всегда линейна по номеру $n$.

Пример. Если $a_n=3n+1$, то $d=3$.
Действительно: $a_1=4$, $a_2=7$, разность $7-4=3$.

5) Если даны три подряд идущих члена

Если известны $a_{n-1}$, $a_n$, $a_{n+1}$, то средний член равен среднему арифметическому соседей: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ А разность можно найти так: $d=\frac{a_{n+1}-a_{n-1}}{2}$ Пример. $a_{n-1}=8$, $a_{n+1}=14$. Тогда: $d=\frac{14-8}{2}=3$ (соответственно, $a_n$ будет 11).

6) Если известна сумма Sₙ и первый член a₁

Для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)$ Выразим $d$: $d=\frac{\frac{2S_n}{n}-2a_1}{n-1}$ Пример. Пусть $a_1=4$, $n=10$, $S_{10}=130$. Тогда:

Значит, прогрессия увеличивается на 2.

Типичные ошибки при поиске d

1. Путать разность с модулем. Если $d=-5$, это убывание, а не “шаг 5”. Правильное значение — именно со знаком.
2. Ошибаться с делением на количество шагов. В формуле с $a_1$ и $a_n$ делитель всегда $(n-1)$, потому что между первым и n-м членом именно столько переходов.
3. Считать, что d зависит от номера n. В арифметической прогрессии d — константа, поэтому для любых пар соседних членов должно получаться одно и то же значение.
4. Использовать формулы для n=1. Если дан только один член, определить разность нельзя: нет “шага” между элементами.

Быстрая инструкция: какую формулу выбрать

• Даны два соседних члена: $d=a_{n+1}-a_n$
• Даны $a_1$ и $a_n$: $d=\dfrac{a_n-a_1}{n-1}$
• Даны $a_k$ и $a_m$: $d=\dfrac{a_m-a_k}{m-k}$
• Дана формула $a_n=kn+b$: $d=k$
• Даны $S_n$ и $a_1$: $d=\dfrac{\frac{2S_n}{n}-2a_1}{n-1}$

Если скажете, какие именно значения вам даны (например, $a_1$, $a_7$, $a_3$ и $a_8$ или сумма $S_n$), я подскажу, какую формулу применить прямо к вашему случаю.