Как найти биссектрису треугольника

Биссектриса треугольника — это отрезок, соединяющий вершину угла с противоположной стороной и делящий угол пополам. Найти её длину можно несколькими способами, зная длины сторон треугольника или некоторые его элементы. В этой статье разберём основные формулы, свойства и пошаговые примеры расчёта.

Основное свойство биссектрисы треугольника

Главное свойство, которое пригодится для расчётов: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ (из вершины $A$ на сторону $BC$), то:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Это свойство позволяет найти длины отрезков $BD$ и $DC$ через известные стороны треугольника.

Формула длины биссектрисы через стороны и отрезки

Самый универсальный способ найти длину биссектрисы — воспользоваться формулой, которая связывает её с прилежащими сторонами и отрезками, на которые она делит основание:

$l_c^2 = ab - xy$

где:

• $a$ и $b$ — стороны треугольника, образующие угол, из которого выходит биссектриса;
• $x$ и $y$ — отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону ($x$ прилежит к стороне $a$, $y$ — к стороне $b$);
• $l_c$ — длина биссектрисы.

Эта формула является частным случаем теоремы Стюарта и легко применяется на практике.

Пример 1: произвольный треугольник

Дан треугольник со сторонами $AB = 8$, $BC = 10$, $AC = 12$. Найти биссектрису $AD$, проведённую из вершины $A$ к стороне $BC$.

Решение:

1. По свойству биссектрисы: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
2. Пусть $BD = 2k$, $DC = 3k$. Тогда $BC = 5k = 10$, откуда $k = 2$.
3. Отрезки: $BD = 4$, $DC = 6$.
4. Применяем формулу: $l^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC = 8 \cdot 12 - 4 \cdot 6 = 96 - 24 = 72$.
5. Длина биссектрисы: $l = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$.

Ответ: $6\sqrt{2}$.

Формула длины биссектрисы через площадь и угол

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, биссектрису можно найти по формуле:

$l = \frac{2ab \cdot \cos(\gamma/2)}{a + b}$

где $a$ и $b$ — стороны, образующие угол $\gamma$, а $l$ — биссектриса этого угла.

Эта формула особенно удобна, когда отрезки $x$ и $y$ не требуются.

Пример 2: с использованием угла

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 5$, $AC = 7$, угол $\angle BAC = 60^\circ$. Найти биссектрису $AD$.

Решение:

• $a = 5$, $b = 7$, $\gamma = 60^\circ$.
• $\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2$.
• $l = \frac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sqrt{3}/2}{5 + 7} = \frac{35\sqrt{3}}{12} \approx 5{,}05$.

Ответ: $\frac{35\sqrt{3}}{12}$.

Частные случаи: равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольники

Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой. Если боковые стороны равны $a$, основание $b$, то длина такой биссектрисы:

$l = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$

Равносторонний треугольник

Все биссектрисы равны. Для стороны $a$:

$l = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Прямоугольный треугольник

Для биссектрисы прямого угла (катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$):

$l = \frac{ab\sqrt{2}}{a + b}$

Для биссектрисы острого угла применяют общую формулу через косинус половинного угла.

Как найти биссектрису, зная только три стороны

Пошаговый алгоритм:

1. По теореме косинусов найдите косинус угла, из которого выходит искомая биссектриса.
2. Вычислите косинус половины этого угла по формуле $\cos(\gamma/2) = \sqrt{\frac{1+\cos\gamma}{2}}$.
3. Подставьте значения в формулу $l = \frac{2ab \cdot \cos(\gamma/2)}{a+b}$.

Этот метод работает для любого треугольника, но требует аккуратных вычислений. Альтернатива — сначала найти отрезки $x$ и $y$ по свойству биссектрисы, а затем применить формулу $l^2 = ab - xy$.

Распространённые ошибки

• Путают биссектрису с медианой: медиана делит сторону пополам, биссектриса — пропорционально сторонам.
• Забывают извлечь квадратный корень после применения формулы $l^2 = ab - xy$.
• Неправильно определяют, какие отрезки $x$ и $y$ к каким сторонам относятся.

Заключение

Зная основные формулы и свойства биссектрисы, вы сможете быстро вычислить её длину в любом треугольнике. Главное — правильно определить известные данные и выбрать подходящий метод. Для стандартных случаев (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный треугольники) существуют упрощённые формулы, а для произвольных — универсальные подходы через отрезки или угол.