Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины — это одна из ключевых характеристик в теории вероятностей и статистике, которая позволяет количественно оценить «разброс» или рассеяние значений вокруг среднего (математического ожидания).

Что такое дисперсия простыми словами

Если математическое ожидание показывает «центр» распределения (среднее значение), то дисперсия показывает, насколько плотно значения группируются вокруг этого центра.

• Низкая дисперсия означает, что большинство значений находятся близко к среднему.
• Высокая дисперсия говорит о том, что значения сильно разбросаны, и вероятность встретить результат, далекий от среднего, весьма высока.

Формулы для расчета дисперсии

В математической литературе дисперсия обозначается как $D(X)$ или $\text{Var}(X)$.

1. Теоретическое определение

Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D(X) = E[(X - E[X])^2]$

2. Вычислительная формула (упрощенная)

Для практических расчетов чаще всего используют формулу, которая позволяет избежать возведения в квадрат разности в каждом шаге: $D(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ Где $E[X^2]$ — математическое ожидание квадрата величины, а $(E[X])^2$ — квадрат математического ожидания.

3. Расчет для дискретной случайной величины

Если величина принимает значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$, формула принимает вид: $D(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i (x_i - E[X])^2$

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

Поскольку дисперсия измеряется в «квадратных единицах» (например, в $\text{м}^2$ или $\text{руб}^2$), её сложно интерпретировать физически. Чтобы вернуться к исходным единицам измерения, используют стандартное отклонение ($\sigma$):

$\sigma = \sqrt{D(X)}$

Это значение показывает средний масштаб отклонения случайной величины от её среднего значения.

Основные свойства дисперсии

Знание свойств дисперсии позволяет быстро упрощать сложные расчеты:

1. Дисперсия константы: Если $C$ — постоянное число, то $D(C) = 0$.
2. Линейность: $D(C + X) = D(X)$. Добавление константы к каждому значению не меняет разброс данных, только их среднее положение.
3. Вынос коэффициента: $D(aX) = a^2 D(X)$. При умножении величины на число $a$, дисперсия увеличивается в $a^2$ раз.
4. Сумма независимых величин: Если случайные величины $X$ и $Y$ независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$

Пример расчета

Задача: Найти дисперсию числа очков при одном броске честного шестигранного кубика.

1. Находим математическое ожидание $E[X]$: $E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$

2. Находим математическое ожидание квадратов $E[X^2]$: $E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17$

3. Вычисляем дисперсию по упрощенной формуле: $D(X) = 15.17 - (3.5)^2 = 15.17 - 12.25 = 2.92$

Результат: Дисперсия равна $2.92$. Стандартное отклонение составит $\sqrt{2.92} \approx 1.71$.

Сравнительная таблица: Дисперсия vs Стандартное отклонение