Дисперсия случайной величины: определение, формулы

Дисперсия случайной величины – одна из ключевых характеристик в теории вероятностей. Она количественно описывает, насколько значения случайной величины рассеяны вокруг её среднего. В статье разберём определение, формулы расчёта, основные свойства и покажем решение примеров.

Определение дисперсии

Дисперсия (обозначается D(X), Var(X) или σ²) – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

$$D(X) = M\left[(X - M(X))^2\right]$$

Интуитивно дисперсия отвечает на вопрос: «В среднем насколько далеко значения случайной величины расположены от центра распределения?» Квадрат берётся для того, чтобы положительные и отрицательные отклонения не компенсировали друг друга.

Формулы расчёта

Для дискретной случайной величины

Если случайная величина $X$ принимает значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$, дисперсия вычисляется двумя способами.

Формула через определение:

$$D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 \cdot p_i$$

Формула через моменты (чаще используется на практике):

$$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$$

Вторая формула получается раскрытием квадрата отклонения:

$$D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\right)^2$$

Для непрерывной случайной величины

Если $X$ задана плотностью вероятности $f(x)$, дисперсия вычисляется интегралом:

$$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - M(X))^2 \cdot f(x) , dx$$

Или в упрощённой форме:

$$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot f(x) , dx - \left(\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) , dx\right)^2$$

Для выборки (выборочная дисперсия)

Когда известны только $n$ наблюдений (выборка), используют формулу с поправкой Бесселя:

$$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Деление на $n-1$ вместо $n$ обеспечивает несмещённость оценки.

Свойства дисперсии

Для произвольных случайных величин $X$, $Y$ и константы $c$:

1. Дисперсия константы равна нулю: $D(c) = 0$
2. Вынесение константы за знак: $D(cX) = c^2 \cdot D(X)$
3. Сдвиг не влияет на дисперсию: $D(X + c) = D(X)$
4. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий: $$D(X + Y) = D(X) + D(Y)$$
5. В общем случае для произвольных $X$ и $Y$: $$D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot \text{cov}(X, Y)$$
6. Связь с математическим ожиданием: $$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$$

Стандартное отклонение

Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением (СКО) или стандартным отклонением:

$$\sigma = \sqrt{D(X)}$$

СКО выражается в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина, поэтому его удобнее использовать для интерпретации результатов. Например, если рост измеряется в сантиметрах, дисперсия будет в см², а СКО – снова в сантиметрах.

Примеры расчёта

Пример 1: Бросок игральной кости

Случайная величина $X$ – число очков при броске кубика. Каждая сторона выпадает с вероятностью $\frac{1}{6}$.

Шаг 1. Найдём математическое ожидание:

$$M(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5$$

Шаг 2. Найдём $M(X^2)$:

$$M(X^2) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 9 \cdot \frac{1}{6} + 16 \cdot \frac{1}{6} + 25 \cdot \frac{1}{6} + 36 \cdot \frac{1}{6} = \frac{91}{6}$$

Шаг 3. Вычислим дисперсию:

$$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = \frac{91}{6} - (3{,}5)^2 = 15{,}167 - 12{,}25 \approx 2{,}917$$

Стандартное отклонение: $\sigma \approx 1{,}71$ очка.

Пример 2: Непрерывное равномерное распределение

Пусть $X$ равномерно распределена на отрезке $[a, b]$, тогда плотность $f(x) = \frac{1}{b-a}$.

Известно, что $M(X) = \frac{a+b}{2}$, а дисперсия равномерного распределения:

$$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$$

Частный случай: для отрезка $[0, 1]$: $D(X) = \frac{1}{12}$, $\sigma \approx 0{,}289$.

Пример 3: Использование свойств

Пусть $D(X) = 9$. Найдём дисперсию величины $Y = 2X + 5$.

По свойствам дисперсии: $$D(2X + 5) = D(2X) = 2^2 \cdot D(X) = 4 \cdot 9 = 36$$

Неравенство Чебышёва

Дисперсия позволяет оценить вероятность значительного отклонения случайной величины от среднего. Неравенство Чебышёва утверждает:

$$P\left(|X - M(X)| \geq k\sigma\right) \leq \frac{1}{k^2}$$

Для нормального распределения оценка точнее: не менее 95% значений лежат в пределах $M(X) \pm 2\sigma$, а 99,7% – в пределах $M(X) \pm 3\sigma$.

Дисперсия для некоторых распределений

Связь с ковариацией

Ковариация измеряет совместную изменчивость двух случайных величин:

$$\text{cov}(X, Y) = M\left[(X - M(X))(Y - M(Y))\right]$$

Дисперсия – это частный случай ковариации: $D(X) = \text{cov}(X, X)$.

Коэффициент корреляции нормирует ковариацию:

$$r = \frac{\text{cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$$