Дисперсия биномиальной случайной величины
Формула дисперсии биномиального распределения D(X) = npq. Вывод, примеры расчёта, свойства и связь со стандартным отклонением схемы Бернулли.
Формула дисперсии
Дисперсия биномиальной случайной величины $X \sim B(n, p)$ – числа успехов в $n$ независимых испытаниях Бернулли – вычисляется по формуле:
$$D(X) = npq = np(1 - p)$$
где $n$ – число испытаний, $p$ – вероятность успеха, $q = 1 - p$ – вероятность неудачи.
Это одна из базовых формул теории вероятностей. Она показывает меру разброса числа успехов относительно математического ожидания $E(X) = np$.
Параметры формулы
| Параметр | Обозначение | Смысл | Диапазон |
|---|---|---|---|
| Число испытаний | $n$ | Количество независимых опытов | $n \geq 1$ |
| Вероятность успеха | $p$ | Шанс наступления события в одном опыте | $0 < p < 1$ |
| Вероятность неудачи | $q$ | Шанс ненаступления события | $q = 1 - p$ |
Если $p = 0$ или $p = 1$,
Часто задаваемые вопросы
Чему равна дисперсия биномиальной случайной величины?
Дисперсия биномиальной случайной величины вычисляется по формуле D(X) = npq, где n – число испытаний, p – вероятность успеха в каждом из них, q = 1 − p – вероятность неудачи. Например, при n = 10 и p = 0,3 получаем D(X) = 10 × 0,3 × 0,7 = 2,1. Значение показывает средний разброс числа успехов относительно математического ожидания np.
При каком значении p дисперсия максимальна?
Дисперсия D(X) = np(1−p) достигает максимума при p = 0,5 – когда вероятности успеха и неудачи равны. В этом симметричном случае D(X) = n/4. При удалении p от 0,5 дисперсия уменьшается, стремясь к нулю при p → 0 или p → 1, поскольку исход становится всё более предсказуемым.
Чем отличается дисперсия от стандартного отклонения для биномиального распределения?
Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии: σ(X) = √(npq). Дисперсия измеряется в квадратах единиц исходной величины, а стандартное отклонение – в тех же единицах, что и сама случайная величина. Поэтому стандартное отклонение удобнее использовать при практической интерпретации разброса значений.
Можно ли использовать нормальное приближение для биномиального распределения?
Да, при больших n (обычно n ≥ 30 и npq ≥ 5) биномиальное распределение хорошо приближается нормальным с математическим ожиданием np и дисперсией npq. Это следует из локальной и интегральной теорем Муавра – Лапласа. Нормальное приближение позволяет использовать таблицы стандартного нормального распределения для приближённых вероятностных расчётов.
Почему в формуле дисперсии используется произведение pq, а не просто p?
Произведение pq = p(1−p) возникает из дисперсии одного испытания Бернулли: D(X₁) = E(X₁²) − [E(X₁)]² = p − p² = p(1−p) = pq. Поскольку биномиальная величина – это сумма n независимых испытаний Бернулли, их дисперсии складываются, что и даёт итоговую формулу npq.
Как связаны математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения?
Математическое ожидание биномиального распределения равно E(X) = np, а дисперсия – D(X) = npq = np(1−p). Дисперсия всегда не превышает математическое ожидание, так как множитель q = 1−p ≤ 1. Равенство D(X) = E(X) достигается только при p → 0, когда математическое ожидание также стремится к нулю.