Дана дуга, найти угол: формулы и примеры
Как найти угол по дуге окружности: вписанный, центральный, между секущими. Формулы, теоремы и разбор примеров для подготовки к ЕГЭ.
Основные теоремы для связи дуги и угла
Чтобы решать задачи, где дана дуга и нужно найти угол, необходимо опираться на базовые свойства окружности.
- Вписанный угол — это угол с вершиной на окружности. Он всегда равен половине градусной величины дуги, на которую опирается: ∠ = 1/2 × Дуга.
- Центральный угол — вершина находится в центре. Он равен самой дуге: ∠ = Дуга.
Углы при пересечении линий
Когда линии пересекают окружность или друг друга внутри/вне её, применяются расширенные формулы:
- Угол между двумя хордами внутри круга: равен полусумме двух дуг, которые эти хорды стягивают.
- Угол между двумя секущими вне круга: равен полуразности большего и меньшего высекаемых отрезков дуг: ∠ = 1/2 × (Дуга₁ − Дуга₂).
- Угол между касательной и хордой: равен половине дуги, заключенной между ними.
Пошаговый пример решения
Рассмотрим типичную задачу: градусная величина дуги AB окружности равна 120°. Из точки C вне окружности проведены две секущие, высекающие дуги 120° и 40°. Найдем угол между ними.
- Определяем, что угол находится вне круга, значит, берем полуразность дуг.
- Вычисляем: 1/2 × (120° − 40°) = 1/2 × 80° = 40°. Ответ: искомый угол равен 40°.
Частые ошибки
- Путаница между центральным и вписанным углом (забывают поделить дугу пополам для вписанного).
- В задачах с секущими вне круга складывают дуги вместо того, чтобы вычитать меньшую из большей.
Часто задаваемые вопросы
Чему равен центральный угол, если дана дуга?
Центральный угол всегда равен градусной величине дуги, на которую он опирается, так как вершина находится в центре окружности. Например, если меньшая дуга равна 80°, то и соответствующий центральный угол составляет ровно 80°. Эта связь — база для вывода всех остальных теорем о круге.
Как найти угол между двумя секущими вне окружности?
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне круга, равен полуразности большего и меньшего высекаемых дуг. Формула выглядит так: ∠ = 1/2 (Дуга1 − Дуга2). Это правило часто применяется в задачах профильного ЕГЭ для нахождения неизвестных углов по известным дугам окружности без сложных построений.
Почему вписанный угол равен половине дуги?
Это доказано фундаментальной теоремой о вписанном угле: он опирается на дугу, которая вдвое больше соответствующего центрального угла. Поэтому для расчета берется ровно половина градусной величины дуги. Данное свойство справедливо для любой точки на окружности, если сам угол не выходит за её пределы.
Что делать, если угол опирается на большую дугу?
Если вписанный угол тупой, он неизбежно опирается на большую дугу, превышающую 180°. Чтобы найти её величину, вычтите меньшую дугу из полной окружности в 360° и разделите полученный результат на два. Такой подход гарантирует, что вы получите верное значение тупого угла в градусах.