Биссектриса треугольника: найти сторону

Формула биссектрисы равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все стороны равны, а биссектриса, проведённая из любой вершины, одновременно является медианой и высотой. Это позволяет легко связать длину биссектрисы $l$ со стороной $a$:

$$l = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Отсюда можно выразить сторону через биссектрису:

$$a = \frac{2l}{\sqrt{3}}$$

Формула выводится из теоремы Пифагора: биссектриса делит противоположную сторону пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами $l$ и $a/2$ и гипотенузой $a$ выполняется равенство $l^2 = a^2 - (a/2)^2$.

Примеры вычисления стороны

Пример 1. Биссектриса равностороннего треугольника равна $9\sqrt{3}$. Найдите сторону.

$$a = \frac{2 \cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 9 = 18$$

Ответ: 18.

Пример 2. Биссектриса равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону.

$$a = \frac{2 \cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 24$$

Ответ: 24.

Пример 3. Биссектриса равна $6$. Найдите сторону.

$$a = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$$

Как найти сторону, если забыли формулу

Если под рукой нет готовой формулы, можно воспользоваться теоремой Пифагора. В равностороннем треугольнике биссектриса делит основание на две равные части. Рассмотрите прямоугольный треугольник, образованный стороной $a$, половиной основания $a/2$ и биссектрисой $l$. Тогда:

$$l^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

Отсюда $a^2 = \frac{4l^2}{3}$, и $a = \frac{2l}{\sqrt{3}}$ — тот же результат.

Частные случаи для других треугольников

Для равнобедренного или прямоугольного треугольника одной только длины биссектрисы недостаточно, чтобы найти сторону. В общем случае биссектриса обладает свойством делить противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам, но для расчёта нужны дополнительные данные: углы, длины других сторон или отношение отрезков.

Если треугольник не является равносторонним, воспользуйтесь универсальной формулой длины биссектрисы через две стороны и угол между ними:

$$l = \frac{2ab\cos(\gamma/2)}{a+b}$$

где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Однако для нахождения стороны по известной биссектрисе потребуется решать систему уравнений.

На практике наиболее частый запрос — задачи ОГЭ и ЕГЭ с равносторонним треугольником, где достаточно одной формулы.

Часто задаваемые вопросы

Что такое биссектриса треугольника?

Биссектриса треугольника — это отрезок, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам, соединяя вершину с противоположной стороной. В равностороннем треугольнике биссектриса одновременно является медианой и высотой.

Совпадает ли биссектриса с медианой в равностороннем треугольнике?

Да, в равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают. Это свойство упрощает вычисления: длину биссектрисы можно найти через сторону, и наоборот.

Можно ли найти сторону треугольника по биссектрисе, если треугольник не равносторонний?

Для произвольного треугольника по одной только длине биссектрисы найти сторону невозможно — нужны дополнительные данные, например, углы или длины других сторон. В прямоугольном треугольнике тоже потребуется знание хотя бы одного острого угла.

Как вывести формулу биссектрисы равностороннего треугольника?

В равностороннем треугольнике со стороной a биссектриса является высотой, поэтому её можно найти по теореме Пифагора: l² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = 3a²/4. Отсюда l = a√3/2, а a = 2l/√3.

Как решать задачу ОГЭ, где дана биссектриса равностороннего треугольника?

Подставьте значение биссектрисы в формулу a = 2l/√3. Например, если биссектриса равна 9√3, то a = 2·9√3/√3 = 18. Если l = 12√3, то a = 24. Задача решается в одно действие.

Что делать, если забыли формулу биссектрисы?

Можно вывести её через теорему Пифагора, считая, что биссектриса делит основание пополам. Высота (она же биссектриса) образует прямоугольный треугольник с гипотенузой a и катетом a/2, тогда l² = a² − (a/2)².