Образование·Математика

Биссектриса треугольника: найти сторону

Узнайте, как найти сторону равностороннего треугольника, если известна его биссектриса. Формула, вывод и примеры задач ОГЭ. Длина стороны через биссектрису.

Калькулятор стороны треугольника

Чтобы найти сторону равностороннего треугольника, введите длину его биссектрисы.

Если значение с корнем (например 9√3), перемножьте его: 9 × 1.732 ≈ 15.58
Как это работает?

Мы используем формулу:

a = (2 × l) / √3

Где l – длина биссектрисы, а a – искомая сторона треугольника.

Формула биссектрисы равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все стороны равны, а биссектриса, проведённая из любой вершины, одновременно является медианой и высотой. Это позволяет легко связать длину биссектрисы ( l ) со стороной ( a ):

[ l = \frac{a\sqrt{3}}{2} ]

Отсюда можно выразить сторону через биссектрису:

[ a = \frac{2l}{\sqrt{3}} ]

Формула выводится из теоремы Пифагора: биссектриса делит противоположную сторону пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами ( l ) и ( a/2 ) и гипотенузой ( a ) выполняется равенство ( l^2 = a^2 - (a/2)^2 ).

Примеры вычисления стороны

Пример 1. Биссектриса равностороннего треугольника равна ( 9\sqrt{3} ). Найдите сторону.

[ a = \frac{2 \cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 9 = 18 ]

Ответ: 18.

Пример 2. Биссектриса равна ( 12\sqrt{3} ). Найдите сторону.

[ a = \frac{2 \cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 24 ]

Ответ: 24.

Пример 3. Биссектриса равна ( 6 ). Найдите сторону.

[ a = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 ]

Как найти сторону, если забыли формулу

Если под рукой нет готовой формулы, можно воспользоваться теоремой Пифагора. В равностороннем треугольнике биссектриса делит основание на две равные части. Рассмотрите прямоугольный треугольник, образованный стороной ( a ), половиной основания ( a/2 ) и биссектрисой ( l ). Тогда:

[ l^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} ]

Отсюда ( a^2 = \frac{4l^2}{3} ), и ( a = \frac{2l}{\sqrt{3}} ) — тот же результат.

Частные случаи для других треугольников

Для равнобедренного или прямоугольного треугольника одной только длины биссектрисы недостаточно, чтобы найти сторону. В общем случае биссектриса обладает свойством делить противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам, но для расчёта нужны дополнительные данные: углы, длины других сторон или отношение отрезков.

Если треугольник не является равносторонним, воспользуйтесь универсальной формулой длины биссектрисы через две стороны и угол между ними:

[ l = \frac{2ab\cos(\gamma/2)}{a+b} ]

где ( \gamma ) — угол между сторонами ( a ) и ( b ). Однако для нахождения стороны по известной биссектрисе потребуется решать систему уравнений.

На практике наиболее частый запрос — задачи ОГЭ и ЕГЭ с равносторонним треугольником, где достаточно одной формулы.

Часто задаваемые вопросы

Что такое биссектриса треугольника?
Биссектриса треугольника — это отрезок, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам, соединяя вершину с противоположной стороной. В равностороннем треугольнике биссектриса одновременно является медианой и высотой.
Совпадает ли биссектриса с медианой в равностороннем треугольнике?
Да, в равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают. Это свойство упрощает вычисления: длину биссектрисы можно найти через сторону, и наоборот.
Можно ли найти сторону треугольника по биссектрисе, если треугольник не равносторонний?
Для произвольного треугольника по одной только длине биссектрисы найти сторону невозможно — нужны дополнительные данные, например, углы или длины других сторон. В прямоугольном треугольнике тоже потребуется знание хотя бы одного острого угла.
Как вывести формулу биссектрисы равностороннего треугольника?
В равностороннем треугольнике со стороной a биссектриса является высотой, поэтому её можно найти по теореме Пифагора: l² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = 3a²/4. Отсюда l = a√3/2, а a = 2l/√3.
Как решать задачу ОГЭ, где дана биссектриса равностороннего треугольника?
Подставьте значение биссектрисы в формулу a = 2l/√3. Например, если биссектриса равна 9√3, то a = 2·9√3/√3 = 18. Если l = 12√3, то a = 24. Задача решается в одно действие.
Что делать, если забыли формулу биссектрисы?
Можно вывести её через теорему Пифагора, считая, что биссектриса делит основание пополам. Высота (она же биссектриса) образует прямоугольный треугольник с гипотенузой a и катетом a/2, тогда l² = a² − (a/2)².

Похожие калькуляторы и статьи