Записать число в системе счисления

Что такое система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённого набора символов (цифр) по установленным правилам. Каждая система характеризуется своим основанием — количеством уникальных цифр, которые в ней используются.

Наиболее распространённая система — десятичная (основание 10), которую мы используем в повседневной жизни. В ней применяются цифры от 0 до 9. Но существуют и другие системы:

• Двоичная (основание 2): использует только 0 и 1, применяется в компьютерах
• Восьмеричная (основание 8): цифры от 0 до 7, используется в программировании
• Шестнадцатеричная (основание 16): цифры 0–9 и буквы A–F, популярна для представления байтов и цветов
• Троичная (основание 3): цифры 0, 1, 2, встречается в некоторых алгоритмах

Любое целое число можно представить в любой системе счисления с основанием от 2 до 36 (используя цифры 0–9 и буквы A–Z).

Как пользоваться конвертером

Наш инструмент позволяет быстро записать число в нужной системе счисления:

1. Введите исходное число в первое поле
2. Выберите исходную систему счисления (от 2 до 36) из выпадающего списка
3. Выберите целевую систему счисления, в которую нужно перевести число
4. Результат появится автоматически в выходном поле

Конвертер работает в обе стороны — вы можете переводить из десятичной системы в любую другую и наоборот. Для перевода между двумя недесятичными системами число сначала конвертируется в десятичную, а затем в целевую систему.

Поддерживаемые форматы:

• Целые положительные и отрицательные числа
• Дробные числа (с точкой или запятой)
• Буквы A–Z для систем с основанием больше 10

Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Каждая позиция имеет свой вес, равный основанию системы в соответствующей степени.

Общая формула записи числа:

N = aₙ × bⁿ + aₙ₋₁ × bⁿ⁻¹ + … + a₁ × b¹ + a₀ × b⁰

где:

• N — значение числа
• aᵢ — цифра в i-й позиции
• b — основание системы счисления
• n — номер старшего разряда

Пример для числа 345₁₀:

345₁₀ = 3×10² + 4×10¹ + 5×10⁰ = 300 + 40 + 5

Пример для числа 1A3₁₆ (шестнадцатеричная):

1A3₁₆ = 1×16² + 10×16¹ + 3×16⁰ = 256 + 160 + 3 = 419₁₀

Перевод из десятичной системы

Чтобы записать десятичное число в системе с другим основанием, используется метод последовательного деления:

1. Делим число на основание целевой системы
2. Записываем остаток от деления
3. Берём целую часть результата и повторяем шаг 1
4. Продолжаем, пока частное не станет равным 0
5. Записываем остатки в обратном порядке (снизу вверх)

Пример: перевод 157₁₀ в двоичную систему

157 ÷ 2 = 78, остаток 1
78 ÷ 2 = 39, остаток 0
39 ÷ 2 = 19, остаток 1
19 ÷ 2 = 9, остаток 1
9 ÷ 2 = 4, остаток 1
4 ÷ 2 = 2, остаток 0
2 ÷ 2 = 1, остаток 0
1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Результат: 157₁₀ = 10011101₂

Пример: перевод 1000₁₀ в шестнадцатеричную систему

1000 ÷ 16 = 62, остаток 8
62 ÷ 16 = 3, остаток 14 (E)
3 ÷ 16 = 0, остаток 3

Результат: 1000₁₀ = 3E8₁₆

Перевод в десятичную систему

Для перевода числа из любой системы в десятичную используем позиционный принцип: умножаем каждую цифру на основание в степени её позиции и суммируем.

Пример: перевод 101101₂ в десятичную

101101₂ = 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
        = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
        = 45₁₀

Пример: перевод 2F7₁₆ в десятичную

2F7₁₆ = 2×16² + 15×16¹ + 7×16⁰
      = 512 + 240 + 7
      = 759₁₀

Пример: перевод 567₈ (восьмеричная) в десятичную

567₈ = 5×8² + 6×8¹ + 7×8⁰
     = 320 + 48 + 7
     = 375₁₀

Перевод между недесятичными системами

При переводе между двумя недесятичными системами (например, из двоичной в шестнадцатеричную) используется промежуточный этап — перевод через десятичную систему.

Способ 1: через десятичную систему

1. Переводим число из исходной системы в десятичную
2. Переводим полученное десятичное число в целевую систему

Пример: 11010110₂ → ?₁₆

Шаг 1: 11010110₂ → десятичная

11010110₂ = 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214₁₀

Шаг 2: 214₁₀ → шестнадцатеричная

214 ÷ 16 = 13, остаток 6
13 ÷ 16 = 0, остаток 13 (D)

Результат: 11010110₂ = D6₁₆

Способ 2: группировка (для кратных оснований)

Для перевода между двоичной (2), восьмеричной (8) и шестнадцатеричной (16) системами можно использовать группировку, поскольку 8 = 2³ и 16 = 2⁴.

Двоичная → Шестнадцатеричная: группируем по 4 бита

1101 0110₂ = D 6₁₆

Двоичная → Восьмеричная: группируем по 3 бита

011 010 110₂ = 3 2 6₈

Дробные числа в системах счисления

Для записи дробной части числа в другой системе счисления используется метод последовательного умножения:

1. Умножаем дробную часть на основание целевой системы
2. Целую часть результата записываем как очередную цифру
3. Берём дробную часть результата и повторяем шаг 1
4. Продолжаем до достижения нужной точности или получения 0

Пример: перевод 0.625₁₀ в двоичную систему

0.625 × 2 = 1.25 → цифра 1, остаток 0.25
0.25 × 2 = 0.5 → цифра 0, остаток 0.5
0.5 × 2 = 1.0 → цифра 1, остаток 0

Результат: 0.625₁₀ = 0.101₂

Пример: перевод 0.3₁₀ в двоичную (бесконечная дробь)

0.3 × 2 = 0.6 → 0
0.6 × 2 = 1.2 → 1
0.2 × 2 = 0.4 → 0
0.4 × 2 = 0.8 → 0
0.8 × 2 = 1.6 → 1
0.6 × 2 = 1.2 → 1 (цикл повторяется)

Результат: 0.3₁₀ ≈ 0.010011001100…₂ (периодическая дробь)

Таблица соответствия систем счисления

Примеры практического применения

1. Программирование: работа с битовыми флагами

Права доступа в UNIX-системах записываются в восьмеричной системе:

• 755₈ = rwxr-xr-x (владелец: чтение, запись, выполнение; остальные: чтение, выполнение)
• 644₈ = rw-r–r– (владелец: чтение, запись; остальные: чтение)

2. Веб-разработка: цвета в CSS

Цвета в HTML/CSS записываются в шестнадцатеричной системе:

• #FF0000 = rgb(255, 0, 0) — красный
• #00FF00 = rgb(0, 255, 0) — зелёный
• #0000FF = rgb(0, 0, 255) — синий
• #FFFFFF = rgb(255, 255, 255) — белый

3. Сетевые технологии: IP-адреса

IPv4-адрес 192.168.1.1 в двоичной записи:

192 = 11000000₂
168 = 10101000₂
1   = 00000001₂
1   = 00000001₂

Полный адрес: 11000000.10101000.00000001.00000001₂

4. Низкоуровневое программирование: адреса памяти

Адрес памяти 0x00401000 (шестнадцатеричная):

0x00401000₁₆ = 4198400₁₀ = 10000000001000000000000₂

5. Кодирование: Base36 для коротких URL

YouTube использует систему с основанием 64 для идентификаторов видео, аналогично можно использовать Base36:

1000000₁₀ = LFLS₃₆ (компактная запись)

Распространённые ошибки при переводе

Ошибка 1: неправильный порядок остатков

При переводе из десятичной системы остатки нужно записывать справа налево (снизу вверх). Если записать их в прямом порядке, результат будет неверным.

Неправильно: 13₁₀ → 1011₂ (если взять остатки 1, 0, 1, 1 в прямом порядке)
Правильно: 13₁₀ → 1101₂ (остатки 1, 0, 1, 1 записываем снизу вверх)

Ошибка 2: путаница с буквами в шестнадцатеричной системе

Буквы A–F не чувствительны к регистру, но нужно помнить их значения:

• A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

Ошибка 3: использование неподходящих цифр

В восьмеричной системе нельзя использовать цифры 8 и 9, в двоичной — цифры больше 1. Если вы видите запись 182₈, это ошибка (цифра 8 недопустима).

Ошибка 4: потеря точности при дробных числах

Многие десятичные дроби не имеют точного представления в двоичной системе. Например, 0.1₁₀ = 0.0001100110011…₂ (бесконечная периодическая дробь).

Ошибка 5: игнорирование знака числа

При переводе отрицательных чисел знак минус сохраняется: -25₁₀ = -11001₂. В программировании используются специальные методы представления отрицательных чисел (прямой, обратный и дополнительный коды).

Советы по работе с системами счисления

1. Проверяйте результат обратным переводом: после перевода числа из одной системы в другую переведите результат обратно — должно получиться исходное число.

2. Используйте калькуляторы для проверки: встроенный калькулятор Windows, macOS или онлайн-инструменты помогут убедиться в правильности расчётов.

3. Запомните степени двойки: 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024. Это ускорит перевод из двоичной системы.

4. Группируйте биты для удобства: при работе с двоичными числами группируйте их по 4 (для шестнадцатеричной) или по 8 (байты): 11010110₂ = 1101 0110₂ = D6₁₆.

5. Используйте таблицы соответствия: для часто используемых значений (0–15, 0–255) держите под рукой таблицы перевода между системами.

6. Округляйте дробные числа: если дробь периодическая, определите требуемую точность заранее (обычно 8–10 знаков достаточно).

7. Обозначайте систему счисления: используйте индексы (255₁₀, FF₁₆) или префиксы (0x для шестнадцатеричной, 0b для двоичной в программировании), чтобы избежать путаницы.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.