Вычитание в двоичной системе

Двоичная система счисления — это фундамент всей цифровой техники. Понимание того, как производятся арифметические операции с нулями и единицами, важно не только для программистов и инженеров, но и для всех, кто изучает основы информатики. Вычитание в двоичной системе может показаться непривычным на первый взгляд, но оно следует тем же логическим правилам, что и обычное вычитание в десятичной системе, к которому мы привыкли со школы.

Основы двоичного вычитания

В десятичной системе (которую мы используем в быту) основой является число 10. Когда мы не можем вычесть большую цифру из меньшей, мы “занимаем” десяток у соседа слева. В двоичной системе основой является число 2. Принцип тот же, только вместо десятки мы занимаем двойку (которая записывается как 10 в двоичной системе).

Существует всего четыре базовых комбинации для вычитания двоичных чисел:

1. 0 - 0 = 0
2. 1 - 0 = 1
3. 1 - 1 = 0
4. 0 - 1 = 1 (с заимствованием единицы из старшего разряда)

Последний пункт — самый сложный и важный. Когда мы занимаем 1 у старшего разряда, она переходит в младший разряд как число 2 (в десятичном эквиваленте). Поэтому операция 2 - 1 дает 1.

Как пользоваться калькулятором

Наш онлайн-инструмент разработан для того, чтобы вы могли быстро проверить свои расчеты или мгновенно получить результат сложных операций.

1. Введите первое число: В поле “Уменьшаемое” впишите двоичное число, из которого будете вычитать (состоит только из 0 и 1).
2. Введите второе число: В поле “Вычитаемое” впишите двоичное число, которое нужно вычесть.
3. Получите результат: Калькулятор автоматически произведет вычисление и покажет разность в двоичном формате.

Вы также увидите пошаговое объяснение или эквивалент в десятичной системе, если это предусмотрено функцией инструмента.

Примеры вычислений

Давайте разберем процесс нагляднее, чтобы понять принцип “заимствования”.

Пример 1: Простое вычитание

Попробуем вычесть 10 (2) из 11 (3).

  11
- 10
----
  01

1. Начинаем с крайнего правого столбца: 1 - 0 = 1.
2. Переходим к следующему столбцу: 1 - 1 = 0.
3. Результат: 01 или просто 1.

Пример 2: Вычитание с заимствованием

Более сложный случай: вычтем 1 (1) из 10 (2).

  10
-  1
----
  ??

1. Правый столбец: нам нужно вычесть 1 из 0. Это невозможно без заимствования.
2. Мы идем к соседу слева (к единице) и забираем её.
3. Теперь у соседа стало 0, а у нас в разряде образовалась “двойка” (так как заимствованная единица из старшего разряда весит в два раза больше).
4. Выполняем действие: (2) - 1 = 1.
5. Левый столбец уже пуст (там остался 0).
6. Результат: 1.

Пример 3: Каскадное заимствование

Самый коварный случай возникает, когда нужно занять у нуля. Вычтем 1 из 100.

  100
-   1
-----

1. В крайнем правом разряде 0 - 1. Нужно занять.
2. Смотрим налево — там тоже 0. Занять нечего.
3. Идем еще левее, к единице в третьем разряде. Забираем её.
4. Эта единица переходит в соседний разряд как 2. Теперь ситуация выглядит так: в младшем разряде все еще нужен долг, во втором разряде есть 2, в третьем — 0.
5. Забираем 1 из второго разряда (где сейчас 2) для нашего крайнего правого разряда.
6. После всех переносов:
   • Правый разряд получает 2. Считаем: 2 - 1 = 1.
   • Средний разряд: там осталась 1 (было 2, одну отдали). Считаем: 1 - 0 = 1.
   • Левый разряд: там остался 0.
7. Результат: 11.

Альтернативный метод: Дополнительный код

В компьютерах вычитание физически не выполняется как отдельная операция. Процессор умеет только складывать. Чтобы вычесть число B из числа A, компьютер складывает A с отрицательным значением B.

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Алгоритм следующий:

1. Инвертировать все биты вычитаемого (заменить 0 на 1, а 1 на 0).
2. Прибавить к результату 1.
3. Сложить полученное число с уменьшаемым.

Этот метод позволяет избежать сложных операций заимствования на аппаратном уровне, делая процессоры быстрее и эффективнее. Однако для ручного счета на бумаге классический метод “в столбик” остается самым наглядным и понятным.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.