Вычитание дробей с разными знаменателями

Основное правило вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы вычесть две дроби с разными знаменателями, выполните три шага:

1. Найдите общий знаменатель — это число, которое делится на оба исходных знаменателя
2. Приведите дроби к общему знаменателю — умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на нужный множитель
3. Выполните вычитание — отнимите числители, а знаменатель оставьте общим
4. Упростите результат — сократите дробь, если это возможно

Общая формула:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \times d - c \times b}{b \times d}$$

или после приведения к НОК:

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \times k_1 - c \times k_2}{НОК(b,d)}$$

где k₁ и k₂ — множители для приведения к общему знаменателю.

Пошаговая инструкция с примерами

Пример 1: Простые дроби с небольшими знаменателями

Вычислите: 5/6 − 1/4

Шаг 1: Найдите НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей 6 и 4.

• Кратные 6: 6, 12, 18, 24…
• Кратные 4: 4, 8, 12, 16…
• НОК = 12

Шаг 2: Приведите дроби к знаменателю 12.

• 5/6 = (5 × 2)/(6 × 2) = 10/12
• 1/4 = (1 × 3)/(4 × 3) = 3/12

Шаг 3: Вычтите дроби.

• 10/12 − 3/12 = 7/12

Ответ: 7/12

Пример 2: Дроби, где один знаменатель кратен другому

Вычислите: 7/8 − 1/2

Шаг 1: Найдите НОК чисел 8 и 2.

• 8 делится на 2, значит НОК = 8

Шаг 2: Приведите вторую дробь.

• 7/8 уже имеет знаменатель 8
• 1/2 = (1 × 4)/(2 × 4) = 4/8

Шаг 3: Вычтите.

• 7/8 − 4/8 = 3/8

Ответ: 3/8

Пример 3: Дроби, требующие сокращения результата

Вычислите: 11/12 − 1/3

Шаг 1: НОК (12, 3) = 12

Шаг 2: Приведите к общему знаменателю.

• 11/12 остается 11/12
• 1/3 = (1 × 4)/(3 × 4) = 4/12

Шаг 3: Вычтите.

• 11/12 − 4/12 = 7/12

Ответ: 7/12

Пример 4: С необходимостью сокращения

Вычислите: 5/6 − 1/9

Шаг 1: НОК (6, 9) = 18

Шаг 2: Приведите дроби.

• 5/6 = (5 × 3)/(6 × 3) = 15/18
• 1/9 = (1 × 2)/(9 × 2) = 2/18

Шаг 3: Вычтите.

• 15/18 − 2/18 = 13/18

Ответ: 13/18 (уже в упрощенном виде)

Методология: Как находить НОК

Существует несколько способов найти наименьшее общее кратное:

Способ 1: Через разложение на множители (самый надежный)

Для чисел 12 и 18:

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• НОК = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Возьмите каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается.

Способ 2: Перечисление кратных (интуитивный)

Для 4 и 6:

• Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20…
• Кратные 6: 6, 12, 18, 24…
• НОК = 12

Способ 3: Через произведение и НОД

$$НОК(a, b) = \frac{a \times b}{НОД(a, b)}$$

Для 12 и 18:

• НОД(12, 18) = 6
• НОК = (12 × 18)/6 = 216/6 = 36

Вычитание смешанных дробей

Если нужно вычесть смешанные числа, сначала преобразуйте их в неправильные дроби.

Пример: 3⅖ − 1¾

Шаг 1: Преобразуйте в неправильные дроби.

• 3⅖ = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5
• 1¾ = (1 × 4 + 3)/4 = 7/4

Шаг 2: Найдите НОК (5, 4) = 20

Шаг 3: Приведите к общему знаменателю.

• 17/5 = 68/20
• 7/4 = 35/20

Шаг 4: Вычтите.

• 68/20 − 35/20 = 33/20

Шаг 5: Преобразуйте в смешанное число (если нужно).

• 33/20 = 1¹³/₂₀

Ответ: 1¹³/₂₀

Таблица примеров

Типичные ошибки и как их избежать

Ошибка 1: Вычитание без приведения к общему знаменателю

❌ Неправильно: 5/6 − 1/4 = (5−1)/(6−4) = 4/2 = 2

✅ Правильно: 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12

Ошибка 2: Вычитание знаменателей

❌ Неправильно: 10/12 − 3/12 = 7/0

✅ Правильно: 10/12 − 3/12 = 7/12 (знаменатель не меняется)

Ошибка 3: Неправильный расчет множителей

❌ Неправильно: 1/3 = 2/12 (при общем знаменателе 12)

✅ Правильно: 1/3 = 4/12 (умножили на 4/4)

Ошибка 4: Забывают сократить результат

❌ Неправильно: оставить ответ 6/12

✅ Правильно: 6/12 = 1/2

Советы для быстрого счета

1. Используйте таблицу умножения — это ускорит поиск НОК
2. Сокращайте дроби сразу — если числитель и знаменатель четные, разделите на 2
3. Проверяйте через десятичные дроби — если сомневаетесь, переведите в десятичные: 5/6 ≈ 0,833, 1/4 = 0,25, разница ≈ 0,583 ≈ 7/12
4. Запомните распространенные НОК: для 2, 4, 8 это 8; для 3, 6, 9 это 18; для 5, 10 это 10

Дополнительные материалы

Вычитание дробей тесно связано с:

• Сложением дробей — использует тот же принцип приведения к общему знаменателю
• Сокращением дробей — необходимо для упрощения ответа
• Нахождением НОК — ключевой навык для работы с дробями
• Преобразованием смешанных чисел — нужно при работе с целыми частями

Регулярная практика позволит вам выполнять вычитание дробей быстро и безошибочно, что пригодится в алгебре, геометрии и повседневных расчетах.

Помните: при вычитании дробей главное — не спешите. Аккуратно выполните каждый шаг: найдите НОК, приведите к общему знаменателю, вычтите числители, упростите результат.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.