Вычислите значение выражения системы счисления

Когда в задании пишут «вычислите значение выражения» с числами в недесятичных системах счисления, требуется выполнить арифметику и записать результат – часто в указанной системе. Ниже – калькулятор и разбор алгоритмов, которые нужны на экзаменах и в практике.

Что значит вычислить выражение в системе счисления

Выражение может содержать числа в двоичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной или любой другой позиционной системе. Основание системы (основание – количество цифр, используемых для записи числа) указывают нижним индексом: 1011₂, 37₈, 1F₁₆.

Задачи делятся на три типа:

• Арифметика в одной системе – все числа в одной системе, результат нужен в ней же
• Смешанные системы – числа в разных системах, результат в указанной
• Проверка условия – определить, в какой системе выражение равно заданному числу

Как вычислить значение выражения: пошаговый алгоритм

Универсальный подход к любому выражению:

1. Определите основания всех чисел в выражении
2. Переведите каждое число в десятичную систему
3. Выполните арифметические операции в десятичной системе
4. Переведите результат в требуемую систему счисления

Перевод в десятичную систему

Для числа $a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0$ с основанием $q$:

Пример: $1A3_{16} = 1 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 3 \cdot 16^0 = 256 + 160 + 3 = 419_{10}$

Перевод из десятичной системы

Делите число на основание $q$, записывая остатки. Результат – остатки снизу вверх.

Пример: $419_{10}$ в восьмеричную:

Результат: $643_8$

Примеры вычисления выражений

Пример 1. Сложение в двоичной системе

Условие: Вычислите $1011_2 + 110_2$

Решение через десятичную систему:

• $1011_2 = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 = 11_{10}$
• $110_2 = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 = 6_{10}$
• $11 + 6 = 17_{10}$
• $17_{10} = 10001_2$

Проверка поразрядным сложением:

  1011
+  110
------
 10001

Пример 2. Выражение в разных системах

Условие: Вычислите $1011_2 + 37_8 - 1A_{16}$ и запишите результат в десятичной системе

• $1011_2 = 11_{10}$
• $37_8 = 3 \cdot 8 + 7 = 31_{10}$
• $1A_{16} = 1 \cdot 16 + 10 = 26_{10}$
• $11 + 31 - 26 = 16_{10}$

Пример 3. Определение основания системы

Условие: В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается как 110. Найдите основание.

Решение: $110_q = 1 \cdot q^2 + 1 \cdot q + 0 = q^2 + q$

$q^2 + q = 12$

$q^2 + q - 12 = 0$

$q = 3$ (подходит, так как цифра 2 < 3)

Таблица соответствия цифр (0–15)

Быстрые переходы между степенями двойки

Между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами есть прямое соответствие – основание каждой является степенью двойки:

• Двоичная ↔ Восьмеричная: группа из 3 двоичных цифр = 1 восьмеричная цифра
• Двоичная ↔ Шестнадцатеричная: группа из 4 двоичных цифр = 1 шестнадцатеричная цифра

Пример перевода $1A3_{16}$ в двоичную:

• $1 \rightarrow 0001$
• $A \rightarrow 1010$
• $3 \rightarrow 0011$

Результат: $110100011_2$

Какие ошибки встречаются чаще всего

Типичные задачи из ЕГЭ

В экзаменационных заданиях чаще всего встречаются три формата:

Формат 1 – прямое вычисление. Дано выражение с числами в разных системах, нужно получить результат в указанной системе. Пример: $101101_2 + 67_8 - 3F_{16}$ – ответ в десятичной системе.

Формат 2 – неизвестное основание. Уравнение вида $33_{q} + 44_{q} = 121_{q}$. Переведите обе части в десятичную систему, составьте уравнение относительно $q$ и решите его.

Формат 3 – количество цифр. Сколько нулей в двоичной записи числа $8^{2341} - 4^{1234} + 2^{567} - 18$? Приведите степени к основанию 2 и работайте с показателями.

Информационные материалы не заменяют официальные задания ФИПИ. Для подготовки к экзамену используйте актуальные демоверсии на сайте fipi.ru.