Вычислите радиус вписанной окружности

Вписанная окружность касается всех сторон треугольника, а её центр совпадает с точкой пересечения биссектрис. Задание «вычислите радиус вписанной» – одна из базовых задач планиметрии, которая встречается и на экзаменах, и в практических расчётах.

Калькулятор радиуса вписанной окружности – выберите способ ввода и введите данные. Результат обновляется автоматически.

Как вычислить радиус вписанной окружности: универсальная формула

Для любого треугольника радиус вписанной окружности r определяется формулой:

r = S / p

где:

• S – площадь треугольника
• p – полупериметр: p = (a + b + c) / 2

Эта формула выводится из того, что центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон, а треугольник разбивается на три меньших треугольника с общей вершиной в центре окружности и высотами, равными r.

Порядок вычисления через стороны

Если известны только стороны треугольника a, b, c:

1. Найдите полупериметр: p = (a + b + c) / 2
2. Вычислите площадь по формуле Герона: S = √(p · (p − a) · (p − b) · (p − c))
3. Подставьте в формулу: r = S / p

Пример: стороны треугольника равны 13, 14 и 15.

• p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
• S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84
• r = 84 / 21 = 4

Как вычислить радиус вписанной окружности для частных случаев

Правильный треугольник

Для равностороннего треугольника со стороной a:

r = a√3 / 6

Вывод: S = a²√3 / 4, p = 3a / 2, r = S / p = (a²√3 / 4) / (3a / 2) = a√3 / 6.

Прямоугольный треугольник

Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c:

r = (a + b − c) / 2

Альтернативная запись: r = a + b − c для диаметра, поэтому r = (a + b − c) / 2.

Эта формула следует из того, что точка касания вписанной окружности делит каждую сторону на два отрезка, сумма которых для двух катетов равна сумме катетов минус гипотенуза.

Пример: катеты 3 и 4, гипотенуза 5.

r = (3 + 4 − 5) / 2 = 1

Равнобедренный треугольник

Для равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b:

r = a · √(4b² − a²) / (2 · (a + 2b))

При b = a (равносторонний) формула сводится к r = a√3 / 6.

Почему формула r = S / p работает?

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. Расстояние от центра до каждой стороны равно r. Треугольник ABC разбивается на три треугольника: ABO, BCO, CAO, где O – центр вписанной окружности.

Площадь каждого из них:

• S₁ = a · r / 2
• S₂ = b · r / 2
• S₃ = c · r / 2

Суммарная площадь: S = r · (a + b + c) / 2 = r · p

Отсюда: r = S / p.

Вычисление через углы и описанную окружность

Если известен радиус R описанной окружности и углы треугольника A, B, C:

r = 4R · sin(A/2) · sin(B/2) · sin(C/2)

Также существует формула Эйлера, связывающая расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей:

d² = R² − 2Rr

Из неё можно выразить r, если известны R и d.

Через один угол и стороны

Радиус вписанной окружности можно найти через угол A и прилежащие стороны b и c:

r = (p − a) · tg(A/2)

где p = (a + b + c) / 2.

Типичные ошибки при вычислении

1. Путаница между периметром и полупериметром. Формула r = S / p использует именно полупериметр, а не периметр. Подстановка p = a + b + c вместо p = (a + b + c) / 2 даст результат, вдвое меньший истинного.

2. Неверное определение гипотенузы. В формуле для прямоугольного треугольника r = (a + b − c) / 2 именно c – гипотенуза. Перестановка даёт отрицательный результат.

3. Радианы вместо градусов. При использовании тригонометрических функций в формуле r = 4R · sin(A/2) · sin(B/2) · sin(C/2) убедитесь, что углы выражены в одной системе.

Формулы приведены для плоских евклидовых треугольников. Для сферических и других неевклидовых случаев требуются иные подходы.

Примеры задач

Задача 1

Стороны треугольника: 5, 12, 13. Вычислите радиус вписанной окружности.

Проверяем: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² – треугольник прямоугольный.

r = (5 + 12 − 13) / 2 = 2

Задача 2

В треугольник вписана окружность радиуса 3, площадь равна 36. Найдите периметр.

Из формулы r = S / p: p = S / r = 36 / 3 = 12. Периметр P = 2p = 24.

Задача 3

Радиус описанной окружности правильного треугольника равен 10. Найдите радиус вписанной окружности.

Для правильного треугольника R = 2r, поэтому r = R / 2 = 5.

Используйте калькулятор выше для проверки результатов и быстрых вычислений – достаточно ввести стороны треугольника, и расчёт выполнится автоматически.