Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями

Чтобы вычислить площадь фигуры ограниченной линиями, понадобится определённый интеграл. С его помощью считают площадь любой плоской области, границы которой заданы функциями одной переменной. Ниже – универсальная формула, алгоритм и подробные примеры для типовых задач.

Калькулятор принимает две функции (f(x)) и (g(x)), а также пределы интегрирования (опционально). Если интервал не указан, инструмент автоматически найдёт все точки пересечения и вычислит площадь замкнутой фигуры. Достаточно ввести выражения, например x^2 и x+2, и результат появится вместе с графиком.

Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями?

Площадь фигуры, заключённой между кривыми (y=f(x)) и (y=g(x)) на отрезке от (a) до (b), находят по формуле:

[ S = \int_a^b \big| f(x) - g(x) \big| , dx ]

Здесь (a) и (b) – абсциссы крайних точек фигуры (чаще всего это корни уравнения (f(x)=g(x))). Знак модуля гарантирует, что площадь всегда положительна. Если на всём отрезке одна функция лежит выше другой, модуль можно снять, вычтя из верхней функции нижнюю.

Основные шаги:

1. Найти точки пересечения графиков.
2. Определить, какая функция является верхней границей на каждом участке.
3. Вычислить определённый интеграл разности.

Пошаговый алгоритм расчёта

1. Найдите абсциссы пересечения. Решите уравнение (f(x)=g(x)). Корни (x_1, x_2, \dots, x_n) разобьют ось (x) на интервалы.
2. Определите знак разности. На каждом отрезке между соседними корнями проверьте знак (f(x)-g(x)). Это покажет, какой график выше.
3. Составьте интеграл. Запишите сумму интегралов: [ S = \int*{x_1}^{x_2} |f-g| , dx + \int*{x_2}^{x_3} |f-g| , dx + \dots ] Если на интервале (f(x) \ge g(x)), подынтегральная функция равна (f(x)-g(x)), иначе (g(x)-f(x)).
4. Вычислите интегралы. Используйте таблицу первообразных, методы подстановки или онлайн-калькулятор.

Пример 1: площадь между параболой и прямой

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (y = x^2) и (y = x + 2).

Решение.

1. Точки пересечения: (x^2 = x + 2 ;\Rightarrow; x^2 - x - 2 = 0). Корни: (x = -1) и (x = 2).
2. На отрезке ([-1; 2]) прямая (y = x+2) лежит выше параболы (y = x^2) (проверьте в любой промежуточной точке, например, при (x=0): (2 > 0)).
3. Площадь: [ S = \int*{-1}^{2} \big((x+2) - x^2\big) , dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]*{-1}^{2} = \left(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = 4{,}5. ]

Ответ: (S = 4{,}5) кв. ед.

Пример 2: синус и косинус на отрезке

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками (y = \sin x) и (y = \cos x) на интервале ([0; \pi/2]).

Решение.

1. Уравнение (\sin x = \cos x) на ([0; \pi/2]) даёт (x = \pi/4).
2. На ([0; \pi/4]) (\cos x \ge \sin x), на ([\pi/4; \pi/2]) – наоборот ((\sin x \ge \cos x)).
3. Разбиваем интеграл на два: [ S = \int0^{\pi/4} (\cos x - \sin x),dx + \int{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x),dx. ] Вычислим каждый: [ \int (\cos x - \sin x),dx = \sin x + \cos x. ] [ S = \big[ \sin x + \cos x \big]0^{\pi/4} + \big[ -\cos x - \sin x \big]{\pi/4}^{\pi/2}. ] Первый интеграл: ((\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}) - (\sin 0+\cos 0) = (\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}) - 1 = \sqrt2 - 1). Второй: ((-\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}) - (-\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}) = (0-1) - (-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}) = -1 + \sqrt2 = \sqrt2 - 1). Итого: (S = 2(\sqrt2 - 1) \approx 0{,}828).

Ответ: (S \approx 0{,}828) кв. ед.

Что делать, если кривые пересекаются несколько раз?

Фигура может быть ограничена линиями, которые пересекаются более чем в двух точках. Например, (y = x^3 - 2x^2 + x) и (y = 0) пересекаются при (x=0) и (x=1), но внутри интервала график уходит ниже и выше оси – считается общая площадь всех замкнутых областей.

Чтобы вычислить площадь фигуры ограниченной линиями в таких случаях, находят все корни уравнения (f(x)=g(x)) и разбивают общую область на вертикальные полосы между соседними корнями. Затем отдельно интегрируют модуль разности на каждой полосе и суммируют результаты. Калькулятор автоматически находит все точки пересечения и выполняет такое разбиение.