Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями

Чтобы вычислить площадь фигуры ограниченной линиями, понадобится определённый интеграл. С его помощью считают площадь любой плоской области, границы которой заданы функциями одной переменной. Ниже – универсальная формула, алгоритм и подробные примеры для типовых задач.

Калькулятор принимает две функции $f(x)$ и $g(x)$, а также пределы интегрирования (опционально). Если интервал не указан, инструмент автоматически найдёт все точки пересечения и вычислит площадь замкнутой фигуры. Достаточно ввести выражения, например x^2 и x+2, и результат появится вместе с графиком.

Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями?

Площадь фигуры, заключённой между кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на отрезке от $a$ до $b$, находят по формуле:

$S = \int_a^b \big| f(x) - g(x) \big| \, dx$

Здесь $a$ и $b$ – абсциссы крайних точек фигуры (чаще всего это корни уравнения $f(x)=g(x)$). Знак модуля гарантирует, что площадь всегда положительна. Если на всём отрезке одна функция лежит выше другой, модуль можно снять, вычтя из верхней функции нижнюю.

Основные шаги:

1. Найти точки пересечения графиков.
2. Определить, какая функция является верхней границей на каждом участке.
3. Вычислить определённый интеграл разности.

Пошаговый алгоритм расчёта

1. Найдите абсциссы пересечения. Решите уравнение $f(x)=g(x)$. Корни $x_1, x_2, \dots, x_n$ разобьют ось $x$ на интервалы.
2. Определите знак разности. На каждом отрезке между соседними корнями проверьте знак $f(x)-g(x)$. Это покажет, какой график выше.
3. Составьте интеграл. Запишите сумму интегралов: $S = \int*{x_1}^{x_2} |f-g| \, dx + \int*{x_2}^{x_3} |f-g| \, dx + \dots$ Если на интервале $f(x) \ge g(x)$, подынтегральная функция равна $f(x)-g(x)$, иначе $g(x)-f(x)$.
4. Вычислите интегралы. Используйте таблицу первообразных, методы подстановки или онлайн-калькулятор.

Пример 1: площадь между параболой и прямой

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = x + 2$.

Решение.

1. Точки пересечения: $x^2 = x + 2 \;\Rightarrow\; x^2 - x - 2 = 0$. Корни: $x = -1$ и $x = 2$.
2. На отрезке $[-1; 2]$ прямая $y = x+2$ лежит выше параболы $y = x^2$ (проверьте в любой промежуточной точке, например, при $x=0$: $2 > 0$).
3. Площадь: $$S = \int*{-1}^{2} \big((x+2) - x^2\big) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]*{-1}^{2} = \left(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = 4{,}5.$$

Ответ: $S = 4{,}5$ кв. ед.

Пример 2: синус и косинус на отрезке

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на интервале $[0; \pi/2]$.

Решение.

1. Уравнение $\sin x = \cos x$ на $[0; \pi/2]$ даёт $x = \pi/4$.
2. На $[0; \pi/4]$ $\cos x \ge \sin x$, на $[\pi/4; \pi/2]$ – наоборот ($\sin x \ge \cos x$).
3. Разбиваем интеграл на два: $S = \int*0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx + \int*{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x)\,dx.$ Вычислим каждый: $\int (\cos x - \sin x)\,dx = \sin x + \cos x.$ $S = \big[ \sin x + \cos x \big]_0^{\pi/4} + \big[ -\cos x - \sin x \big]_{\pi/4}^{\pi/2}.$ Первый интеграл: $(\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}) - (\sin 0+\cos 0) = (\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}) - 1 = \sqrt2 - 1$. Второй: $(-\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}) - (-\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}) = (0-1) - (-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}) = -1 + \sqrt2 = \sqrt2 - 1$. Итого: $S = 2(\sqrt2 - 1) \approx 0{,}828$.

Ответ: $S \approx 0{,}828$ кв. ед.

Что делать, если кривые пересекаются несколько раз?

Фигура может быть ограничена линиями, которые пересекаются более чем в двух точках. Например, $y = x^3 - 2x^2 + x$ и $y = 0$ пересекаются при $x=0$ и $x=1$, но внутри интервала график уходит ниже и выше оси – считается общая площадь всех замкнутых областей.

Чтобы вычислить площадь фигуры ограниченной линиями в таких случаях, находят все корни уравнения $f(x)=g(x)$ и разбивают общую область на вертикальные полосы между соседними корнями. Затем отдельно интегрируют модуль разности на каждой полосе и суммируют результаты. Калькулятор автоматически находит все точки пересечения и выполняет такое разбиение.