Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями

Чтобы вычислить площадь фигуры ограниченной линиями, понадобится определённый интеграл. С его помощью считают площадь любой плоской области, границы которой заданы функциями одной переменной. Ниже – универсальная формула, алгоритм и подробные примеры для типовых задач.

Калькулятор принимает две функции \(f(x)\) и \(g(x)\), а также пределы интегрирования (опционально). Если интервал не указан, инструмент автоматически найдёт все точки пересечения и вычислит площадь замкнутой фигуры. Достаточно ввести выражения, например x^2 и x+2, и результат появится вместе с графиком.

Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями?

Площадь фигуры, заключённой между кривыми \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) на отрезке от \(a\) до \(b\), находят по формуле:

Здесь \(a\) и \(b\) – абсциссы крайних точек фигуры (чаще всего это корни уравнения \(f(x)=g(x)\)). Знак модуля гарантирует, что площадь всегда положительна. Если на всём отрезке одна функция лежит выше другой, модуль можно снять, вычтя из верхней функции нижнюю.

Основные шаги:

1. Найти точки пересечения графиков.
2. Определить, какая функция является верхней границей на каждом участке.
3. Вычислить определённый интеграл разности.

Пошаговый алгоритм расчёта

1. Найдите абсциссы пересечения. Решите уравнение \(f(x)=g(x)\). Корни \(x_1, x_2, \dots, x_n\) разобьют ось \(x\) на интервалы.
2. Определите знак разности. На каждом отрезке между соседними корнями проверьте знак \(f(x)-g(x)\). Это покажет, какой график выше.
3. Составьте интеграл. Запишите сумму интегралов: \[ S = \int*{x_1}^{x_2} |f-g| \, dx + \int*{x_2}^{x_3} |f-g| \, dx + \dots \] Если на интервале \(f(x) \ge g(x)\), подынтегральная функция равна \(f(x)-g(x)\), иначе \(g(x)-f(x)\).
4. Вычислите интегралы. Используйте таблицу первообразных, методы подстановки или онлайн-калькулятор.

Пример 1: площадь между параболой и прямой

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2\) и \(y = x + 2\).

Решение.

1. Точки пересечения: \(x^2 = x + 2 \;\Rightarrow\; x^2 - x - 2 = 0\). Корни: \(x = -1\) и \(x = 2\).
2. На отрезке \([-1; 2]\) прямая \(y = x+2\) лежит выше параболы \(y = x^2\) (проверьте в любой промежуточной точке, например, при \(x=0\): \(2 > 0\)).
3. Площадь: \[ S = \int*{-1}^{2} \big((x+2) - x^2\big) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]*{-1}^{2} = \left(\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = 4{,}5. \]

Ответ: \(S = 4{,}5\) кв. ед.

Пример 2: синус и косинус на отрезке

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) на интервале \([0; \pi/2]\).

Решение.

1. Уравнение \(\sin x = \cos x\) на \([0; \pi/2]\) даёт \(x = \pi/4\).
2. На \([0; \pi/4]\) \(\cos x \ge \sin x\), на \([\pi/4; \pi/2]\) – наоборот (\(\sin x \ge \cos x\)).
3. Разбиваем интеграл на два: \[ S = \int*0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx + \int*{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x)\,dx. \] Вычислим каждый: \[ \int (\cos x - \sin x)\,dx = \sin x + \cos x. \] \[ S = \big[ \sin x + \cos x \big]_0^{\pi/4} + \big[ -\cos x - \sin x \big]_{\pi/4}^{\pi/2}. \] Первый интеграл: \((\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}) - (\sin 0+\cos 0) = (\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}) - 1 = \sqrt2 - 1\). Второй: \((-\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}) - (-\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}) = (0-1) - (-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}) = -1 + \sqrt2 = \sqrt2 - 1\). Итого: \(S = 2(\sqrt2 - 1) \approx 0{,}828\).

Ответ: \(S \approx 0{,}828\) кв. ед.

Что делать, если кривые пересекаются несколько раз?

Фигура может быть ограничена линиями, которые пересекаются более чем в двух точках. Например, \(y = x^3 - 2x^2 + x\) и \(y = 0\) пересекаются при \(x=0\) и \(x=1\), но внутри интервала график уходит ниже и выше оси – считается общая площадь всех замкнутых областей.

Чтобы вычислить площадь фигуры ограниченной линиями в таких случаях, находят все корни уравнения \(f(x)=g(x)\) и разбивают общую область на вертикальные полосы между соседними корнями. Затем отдельно интегрируют модуль разности на каждой полосе и суммируют результаты. Калькулятор автоматически находит все точки пересечения и выполняет такое разбиение.