Вычислить логарифм онлайн – калькулятор log с любым основанием

Дисклеймер: калькулятор предназначен для образовательных целей и справочных расчётов. Для точных инженерных и научных вычислений используйте специализированное математическое программное обеспечение.

Как пользоваться калькулятором логарифмов

Калькулятор вычисляет логарифм числа по выбранному основанию. Результат рассчитывается мгновенно при вводе данных.

Параметры ввода:

• Число – аргумент логарифма, положительное число (от 1×10⁻³⁰⁰ до 1×10³⁰⁰). Поле не может быть пустым или равным нулю
• Основание – выбор из четырёх вариантов:
  • e (натуральный) – основание e ≈ 2,71828, обозначается ln или log_e
  • 10 (десятичный) – основание 10, обозначается lg или log₁₀
  • 2 (двоичный) – основание 2, обозначается log₂
  • Произвольное – пользователь вводит своё основание (положительное, не равное 1)

Результат вычисления:

• Значение логарифма с точностью до 10 знаков после запятой
• Формат вывода: «log₂(8) = 3» или «ln(2,718) ≈ 0,9999»
• При отрицательном или нулевом аргументе – сообщение об ошибке: «Аргумент логарифма должен быть больше 0»

Что такое логарифм

Логарифм числа b по основанию a – это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Определение:

logₐ(b) = x  ⟷  aˣ = b

Пример: log₂(8) = 3, потому что 2³ = 8.

Логарифм – обратная операция к возведению в степень. Если возведение в степень «упаковывает» многократное умножение, то логарифм «распаковывает» результат обратно в показатель.

Виды логарифмов

В математике и инженерии используются три основных вида логарифмов. Каждый имеет своё обозначение и область применения.

Натуральный логарифм (ln) – логарифм по основанию e (число Эйлера). Иррациональная константа e ≈ 2,71828 возникает как предел последовательности (1 + 1/n)ⁿ при n → ∞. Натуральный логарифм – обратная функция к экспоненте: ln(eˣ) = x.

Десятичный логарифм (lg) – логарифм по основанию 10. Удобен для работы с десятичной системой счисления. lg(100) = 2, lg(1000) = 3. До появления калькуляторов для вычисления использовали таблицы Брадиса и логарифмические линейки.

Двоичный логарифм (log₂) – логарифм по основанию 2. В информатике определяет количество бит для кодирования N вариантов: log₂(256) = 8 бит. Используется в анализе сложности алгоритмов: двоичный поиск имеет сложность O(log₂ n).

Основные свойства логарифмов

Свойства логарифмов упрощают вычисления и преобразование выражений. Все свойства справедливы при a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0.

Логарифм произведения:

logₐ(bc) = logₐ(b) + logₐ(c)

Пример: log₁₀(100 · 1000) = log₁₀(100) + log₁₀(1000) = 2 + 3 = 5

Логарифм частного:

logₐ(b/c) = logₐ(b) − logₐ(c)

Пример: log₂(32/4) = log₂(32) − log₂(4) = 5 − 2 = 3

Логарифм степени:

logₐ(bⁿ) = n · logₐ(b)
logₐ(bⁿ) = n при любом n (для logₐ(a) = 1)

Пример: log₁₀(1000²) = 2 · log₁₀(1000) = 2 · 3 = 6

Формула перехода к новому основанию:

logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)

Позволяет вычислить логарифм по любому основанию через натуральный или десятичный, которые есть в калькуляторах.

Пример: log₃(81) = ln(81) / ln(3) = 4,3944 / 1,0986 = 4

Основное логарифмическое тождество:

a^(logₐ(b)) = b

Пример: 2^(log₂(8)) = 2³ = 8

Примеры вычисления логарифмов

Разберём типичные примеры, которые встречаются в задачах и на практике.

Пример 1. Вычисление натурального логарифма:

ln(1) = 0
ln(e) = 1
ln(e²) = 2
ln(2) ≈ 0,693
ln(10) ≈ 2,303

Пример 2. Вычисление десятичного логарифма:

lg(1) = 0
lg(10) = 1
lg(100) = 2
lg(1000) = 3
lg(50) ≈ 1,699

Пример 3. Вычисление двоичного логарифма:

log₂(1) = 0
log₂(2) = 1
log₂(4) = 2
log₂(8) = 3
log₂(16) = 4
log₂(1024) = 10

Пример 4. Логарифм по произвольному основанию:

Вычислить log₅(125): 5³ = 125, значит log₅(125) = 3

Вычислить log₄(64): 4³ = 64, значит log₄(64) = 3

Вычислить log₁₀₀(10): 100^(1/2) = 10, значит log₁₀₀(10) = 0,5

Пример 5. Комбинированные вычисления:

log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5
log₁₀(√1000) = log₁₀(1000^0,5) = 0,5 · log₁₀(1000) = 0,5 · 3 = 1,5
2^(log₂(5)) = 5 (по основному тождеству)

Где применяются логарифмы

Логарифмы используются там, где нужно работать с очень большими или очень малыми числами, или где явление имеет экспоненциальный характер.

Финансы и экономика. Расчёт сложных процентов, оценка инвестиций, логарифмическая доходность. Формула непрерывного начисления: S = P · e^(rt), где r – ставка, t – время.

Химия. Шкала pH – отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода: pH = −lg[H⁺]. Нейтральная среда имеет pH = 7, кислая – pH < 7, щелочная – pH > 7.

Акустика. Уровень громкости в децибелах: L = 10 · lg(I/I₀), где I – интенсивность звука, I₀ – порог слышимости. Увеличение громкости в 2 раза ≈ +3 дБ.

Сейсмология. Шкала Рихтера – логарифмическая шкала магнитуды землетрясений. Каждая единица магнитуды – увеличение амплитуды колебаний в 10 раз.

Информатика. Оценка сложности алгоритмов: двоичный поиск O(log n), сортировка слиянием O(n log n). Расчёт объёма памяти: количество адресов = 2^(разрядность шины).

Теория информации. Формула Шеннона для энтропии: H = −Σ pᵢ · log₂(pᵢ). Количество информации измеряется в битах как логарифм от числа возможных состояний.

Дисклеймер: калькулятор предназначен для образовательных целей и справочных расчётов. Для точных инженерных и финансовых вычислений используйте специализированное программное обеспечение.

Часто задаваемые вопросы