Обновлено:

Вычислить радиус треугольника

Треугольник не имеет «собственного» радиуса – но с ним связаны три типа окружностей: вписанная, описанная и вневписанные. Радиус каждой из них вычисляется по своим формулам, и выбор зависит от задачи. Ниже – все формулы, пояснения и калькулятор для мгновенного расчёта.

Стороны треугольника
Использованные формулы

Полупериметр: p = (a + b + c) / 2

Площадь (Герон): S = √(p · (p−a) · (p−b) · (p−c))

Вписанная: r = S / p

Описанная: R = (a · b · c) / (4 · S)

Вневписанные: ra = S / (p − a) и аналогично для b, c

Расстояние между центрами (формула Эйлера): d = √(R · (R − 2r))

Какие радиусы бывают у треугольника

С любым треугольником связаны несколько окружностей:

  • Вписанная – касается всех трёх сторон изнутри, её центр (инцентр) – точка пересечения биссектрис.
  • Описанная – проходит через все три вершины, её центр – точка пересечения серединных перпендикуляров.
  • Вневписанные (три штуки) – каждая касается одной стороны и продолжений двух других.

Чаще всего требуется вычислить радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности – именно их разбираем в первую очередь.

Как вычислить радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности – расстояние от инцентра до любой стороны треугольника.

Основная формула

$$r = \frac{S}{p}$$

Где:

  • S – площадь треугольника
  • p – полупериметр: p = (a + b + c) / 2

Если известны только стороны

Используйте формулу Герона для площади:

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

Подставив в основную формулу, получите:

$$r = \frac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{p}$$

Частные случаи

Тип треугольникаФормула для r
Равносторонний (сторона a)r = a√3 / 6
Прямоугольный (катеты a, b, гипотенуза c)r = (a + b − c) / 2
Равнобедренный (сторона a, основание b)r = (b / 2) · √((2a − b) / (2a + b))

Пример расчёта

Стороны треугольника: 13, 14, 15.

  1. Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
  2. Площадь: S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84
  3. Радиус: r = 84 / 21 = 4

Как вычислить радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности – расстояние от центра (точки пересечения серединных перпендикуляров) до любой вершины.

Формула через стороны и площадь

$$R = \frac{abc}{4S}$$

Через сторону и противолежащий угол

$$R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{c}{2 \sin \gamma}$$

Теорема синусов (связывает R и стороны)

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

Частные случаи

Тип треугольникаФормула для R
Равносторонний (сторона a)R = a√3 / 3
Прямоугольный (гипотенуза c)R = c / 2
Равнобедренный (сторона a, основание b)R = a² / √(4a² − b²)

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы – поэтому R всегда равен половине гипотенузы.

Пример расчёта

Тот же треугольник: 13, 14, 15, S = 84.

R = (13 · 14 · 15) / (4 · 84) = 2730 / 336 = 8,125

Радиус вневписанной окружности

Вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других. Для каждой стороны – свой радиус:

$$r_a = \frac{S}{p - a}, \quad r_b = \frac{S}{p - b}, \quad r_c = \frac{S}{p - c}$$

Пример для треугольника 13, 14, 15 (p = 21, S = 84):

  • r₁ = 84 / (21 − 13) = 84 / 8 = 10,5
  • r₂ = 84 / (21 − 14) = 84 / 7 = 12
  • r₃ = 84 / (21 − 15) = 84 / 6 = 14

Связь между r и R

Радиусы вписанной и описанной окружностей связаны соотношением:

$$r \leq \frac{R}{2}$$

Равенство достигается только для равностороннего треугольника. Также справедлива формула Эйлера:

$$d^2 = R(R - 2r)$$

где d – расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей. Из неё следует, что R ≥ 2r для любого треугольника.

Как пользоваться калькулятором выше

Калькулятор вычисляет радиус вписанной и описанной окружности по трём сторонам треугольника:

  1. Введите длины сторон a, b и c
  2. Калькулятор проверяет неравенство треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других)
  3. Рассчитывает полупериметр, площадь (по формуле Герона), r и R

Если стороны не образуют треугольник – калькулятор покажет сообщение об ошибке.

Формулы приведены для евклидовой геометрии. Для практических задач убедитесь, что исходные данные корректны.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить радиус вписанной окружности треугольника?

Разделите площадь треугольника на его полупериметр: r = S / p. Площадь можно найти по формуле Герона, если известны только стороны.

Чему равен радиус описанной окружности прямоугольного треугольника?

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: R = c / 2, где c – гипотенуза.

Можно ли вычислить радиус треугольника по трём сторонам?

Да. Сначала найдите полупериметр p и площадь S по формуле Герона, затем r = S / p и R = abc / (4S).

В чём разница между вписанной и описанной окружностью?

Вписанная окружность касается всех сторон треугольника изнутри, а описанная проходит через все три вершины. Радиус описанной всегда не меньше радиуса вписанной.

Как найти радиус вневписанной окружности?

Радиус вневписанной окружности, касательной к стороне a, вычисляется по формуле rₐ = S / (p − a), где p – полупериметр, S – площадь.

  1. Вычисление многогранников: формулы и онлайн-калькулятор
  2. Как посчитать радиус: полное руководство с формулами и примерами
  3. Как посчитать квадрат числа: формулы и примеры
  4. Площадь ромба через сторону: формулы и расчеты 2026
  5. Биссектриса треугольника считать – формулы и калькулятор 2026
  6. Площадь сегмента калькулятор – рассчитать сегмент круга онлайн