Обновлено:
Как вычислить первый член прогрессии
Как найти первый член прогрессии
Допустим, вы решаете задачу: пятый член арифметической прогрессии равен 19, разность равна 3. Чему равен первый член? Это типичная задача, которую можно решить за одну формулу. Разберём подробно оба вида прогрессий.
Первый член арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия – это последовательность, где каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянное число d (разность).
Формула для нахождения первого члена:
$$a_1 = a_n - (n - 1) \cdot d$$Где:
- a₁ – первый член (искомый)
- aₙ – известный член прогрессии
- n – номер этого члена
- d – разность прогрессии
Пример. Пусть a₅ = 19, d = 3, найти a₁.
$$a_1 = 19 - (5 - 1) \cdot 3 = 19 - 12 = 7$$Ответ: первый член равен 7.
Проверка: 7, 10, 13, 16, 19 – действительно, каждый член увеличивается на 3, пятый член равен 19.
Как найти разность, если неизвестен первый член
Иногда в задаче даны два любых члена прогрессии. Разность вычисляется так:
$$d = \frac{a_k - a_m}{k - m}$$Пример. Даны a₃ = 8 и a₇ = 20. Найти a₁.
Сначала найдём разность:
$$d = \frac{20 - 8}{7 - 3} = \frac{12}{4} = 3$$Теперь вычислим первый член:
$$a_1 = a_3 - (3 - 1) \cdot 3 = 8 - 6 = 2$$Ответ: 2.
Первый член геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия – это последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q (знаменатель).
Формула для нахождения первого члена:
$$a_1 = \frac{a_n}{q^{n-1}}$$Где:
- a₁ – первый член (искомый)
- aₙ – известный член прогрессии
- q – знаменатель прогрессии (q ≠ 0, q ≠ 1)
- n – номер члена
Пример. Пусть a₄ = 162, q = 3, найти a₁.
$$a_1 = \frac{162}{3^{4-1}} = \frac{162}{27} = 6$$Ответ: первый член равен 6.
Проверка: 6, 18, 54, 162 – каждый член умножается на 3.
Как найти знаменатель, если неизвестен первый член
Если даны два члена геометрической прогрессии:
$$q = \sqrt[n-m]{\frac{a_n}{a_m}}$$Пример. Даны a₂ = 10 и a₅ = 80. Найти a₁.
Находим знаменатель:
$$q = \sqrt[5-2]{\frac{80}{10}} = \sqrt[3]{8} = 2$$Вычисляем первый член:
$$a_1 = \frac{10}{2^{2-1}} = \frac{10}{2} = 5$$Ответ: 5.
Сводная таблица формул
| Параметр | Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
|---|---|---|
| Рекуррентная формула | aₙ₊₁ = aₙ + d | aₙ₊₁ = aₙ · q |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d | aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ |
| Найти a₁ | a₁ = aₙ − (n − 1)d | a₁ = aₙ / qⁿ⁻¹ |
| Разность / знаменатель | d = (aₙ − aₘ) / (n − m) | q = ⁿ⁻ᵐ√(aₙ / aₘ) |
Частные случаи
Прогрессия убывает. Если разность отрицательная (d < 0), прогрессия идёт на убывание. Пример: a₅ = 3, d = −2. Тогда a₁ = 3 − 4·(−2) = 11. Проверка: 11, 9, 7, 5, 3.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Если |q| < 1, прогрессия стремится к нулю. Первый член всё равно вычисляется по той же формуле. Пример: a₄ = 0.125, q = 0.5. a₁ = 0.125 / 0.5³ = 1.
Типичные ошибки
Путаница с нумерацией. Формула aₙ = a₁ + (n−1)d содержит (n−1), не n. Ошибка в индексе даёт неверный ответ.
Отрицательный знаменатель. В геометрической прогрессии q не может быть равен 0 или 1. При q = −1 прогрессия знакочередуется.
Неверная степень. В формуле для геометрической прогрессии степень – это (n−1), а не n. Это частая ошибка при подстановке.
Краткое резюме
Для нахождения первого члена любой прогрессии достаточно знать один любой член и разность (d) или знаменатель (q). Все формулы выводятся из общего выражения n-го члена. Запомните: в показателе степени геометрической прогрессии и в коэффициенте при разности арифметической всегда стоит (n − 1).
Часто задаваемые вопросы
Как найти первый член арифметической прогрессии?
Используйте формулу a₁ = aₙ − (n − 1)·d, где aₙ – любой известный член, n – его номер, d – разность прогрессии.
Как найти первый член геометрической прогрессии?
Примените формулу a₁ = aₙ / q^(n−1), где aₙ – известный член, q – знаменатель прогрессии, n – номер члена.
Что делать, если неизвестны ни первый член, ни разность прогрессии?
Нужно найти дополнительные данные: сумму членов, их количество или связь между членами из условия задачи.
Можно ли вычислить первый член через сумму первых n членов?
Да. Для арифметической прогрессии: a₁ = (2Sₙ − (n − 1)·d·n) / n, где Sₙ – сумма первых n членов.