Вычисли вероятность элементарного события

Бросок монеты, извлечение шара из урны, подбрасывание кубика – в каждом эксперименте есть исходы, которые нельзя разделить дальше. Это элементарные события, и их вероятности – база всей теории вероятностей.

Что такое элементарное событие

Элементарное событие (или элементарный исход) – простейший неделимый результат случайного эксперимента. Никакой исход эксперимента не является частью другого, более мелкого события.

Примеры:

• Монета: выпал орёл – одно элементарное событие, выпала решка – другое
• Кубик: выпадение тройки – элементарное событие
• Урна с шарами: извлечён конкретный шар №5 – элементарное событие

Множество всех элементарных исходов эксперимента называют пространством элементарных событий и обозначают Ω. При броске кубика Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Как вычислить вероятность элементарного события

Классическое определение вероятности работает, когда все исходы равновозможны – ни один не имеет преимущества перед другим.

Формула:

где ωᵢ – элементарное событие, n – общее число равновозможных исходов в Ω.

Если исходы неравновозможны, сумма вероятностей всех элементарных событий по-прежнему равна 1, но каждое P(ωᵢ) определяется отдельно из условий задачи.

Условия применимости классической формулы

Примеры расчёта

Бросок монеты

Ω = {орёл, решка}, n = 2.

P(орёл) = 1/2 = 0,5. P(решка) = 1/2 = 0,5.

Бросок игральной кости

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n = 6.

P(выпадение 4) = 1/6 ≈ 0,1667.

Извлечение карты из колоды

Стандартная колода – 36 карт. Извлечение конкретной карты, например дамы пик, – элементарное событие.

P(дама пик) = 1/36 ≈ 0,0278.

Неравновозможные исходы

Монета со смещённым центром тяжести: P(орёл) = 0,7, P(решка) = 0,3. Оба исхода – элементарные, но их вероятности не равны 1/n.

Пошаговый алгоритм вычисления

1. Опишите эксперимент – что именно происходит
2. Перечислите все элементарные исходы – составьте множество Ω
3. Проверьте равновозможность – у каждого исхода одинаковые шансы?
4. Подсчитайте n – общее число элементарных событий
5. Примените формулу P(ωᵢ) = 1/n (для равновозможных) или определите вероятности из условий

Свойства вероятности элементарного события

• P(ωᵢ) ≥ 0 для любого элементарного исхода
• Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1: Σ P(ωᵢ) = 1
• Для равновозможных исходов: 0 < P(ωᵢ) ≤ 1, причём P(ωᵢ) = 1 только при n = 1 (эксперимент с одним заранее известным результатом)

Как вычислить вероятность элементарного события для составного события?

Составное событие объединяет несколько элементарных. Его вероятность – сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов:

Для равновозможных исходов формула сводится к знакомому виду:

где m – число благоприятных элементарных исходов, n – общее их количество.

Пример: вероятность выпадения чётного числа на кубике. Благоприятные исходы: {2, 4, 6}, m = 3, n = 6.

P(чётное) = 3/6 = 0,5.

Типичные ошибки

• Путаница с числом благоприятных исходов: при извлечении двух шаров из урны число элементарных событий – это число упорядоченных пар (если порядок важен) или сочетаний (если не важен)
• Игнорирование неравновозможности: в реальных задачах исходы часто не равновероятны – проверяйте условия
• Неполный перебор Ω: пропуск хотя бы одного исхода делает расчёт неверным

Расчёты вероятностей в финансовых и страховых задачах требуют учёта дополнительных факторов. Представленные формулы описывают математическую модель.

Практические задачи

Задача 1. В лотерее 1000 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность вытянуть выигрышный билет?

Решение: извлечение конкретного билета – элементарное событие, n = 1000. P(конкретный выигрышный) = 1/1000. Составное событие «вытянут любой выигрышный»: P = 5/1000 = 0,005.

Задача 2. Наугад называется натуральное число от 1 до 50. Найти вероятность того, что это число кратно 5.

Решение: элементарное событие – названо конкретное число, n = 50. Благоприятные: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}, m = 10. P = 10/50 = 0,2.

Задача 3. В урне 3 красных и 7 синих шаров. Извлекают один шар. Найти вероятность каждого элементарного исхода.

Решение: если шары различимы (пронумерованы), n = 10, P(каждый шар) = 1/10 = 0,1. Если шары одного цвета неразличимы – исходы «красный» и «синий» не равновозможны: P(красный) = 3/10 = 0,3, P(синий) = 7/10 = 0,7.

Для быстрого расчёта используйте калькулятор выше – укажите общее число исходов и получите вероятность каждого элементарного события.