Вычисление векторов

Вычисление векторов – это совокупность математических операций, позволяющих определить характеристики направленного отрезка, его длину, положение в пространстве или результат взаимодействия нескольких векторов. В координатной геометрии и физике вектор задается как совокупность координат (x, y) на плоскости или (x, y, z) в пространстве.

Материал носит справочный характер. При решении сложных инженерных и физических задач проверяйте полученные данные по учебным пособиям или специализированному ПО.

Для проведения вычислений выше используйте координаты начала и конца вектора или сами компоненты вектора, если они уже известны. Калькулятор автоматически вычислит длину, нормализует значение и выполнит базовые алгебраические операции.

Определение параметров вектора

Первый тип задач – вычисление атрибутов одного вектора. Наиболее частая операция – нахождение модуля (длины).

Модуль (длина) вектора

Длина вектора $ \vec{a} = \{x; y; z\} $ определяется по формуле евклидовой нормы:

Если вектор задан двумя точками $A=(x_1, y_1, z_1)$ и $B=(x_2, y_2, z_2)$, сначала вычисляются его координаты: $ \vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\} $. После этого применяется формула длины для полученных разностей.

Направляющие косинусы

Чтобы определить направление вектора относительно осей координат, вычисляют направляющие косинусы: $ \cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|} $. Сумма квадратов направляющих косинусов всегда равна единице.

Алгебраические операции с векторами

Операции над векторами выполняются покомпонентно. Это означает, что каждая координата обрабатывается независимо от других.

Сложение и вычитание

При сложении векторов $ \vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\} $ и $ \vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\} $ их координаты суммируются: $ \vec{a} + \vec{b} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\} $. Вычитание происходит аналогично: $ \vec{a} - \vec{b} = \{x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2\} $.

Умножение на число

При умножении вектора $ \vec{a} $ на скаляр $ k $, каждая координата вектора умножается на это число: $ k \cdot \vec{a} = \{k \cdot x; k \cdot y; k \cdot z\} $.

Скалярное и векторное произведение

Эти операции используются для анализа взаиморасположения векторов, например, для поиска угла между ними или построения перпендикуляра.

Скалярное произведение

Результатом является число (скаляр). Формула через координаты: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 $.

Также скалярное произведение связано с углом $ \phi $ между векторами: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi $. Отсюда выводится формула угла: $ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $.

Векторное произведение

Результатом является вектор $\vec{c}$, перпендикулярный векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Вычисляется через определитель матрицы:

Где $\mathbf{i, j, k}$ – единичные векторы осей координат. Длина полученного вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$.