Обновлено:
Вычисление производных
Скорость автомобиля в момент времени, темп роста компании, угол наклона графика функции – всё это описывается одним инструментом. Вычисление производных нужно там, где важно знать не просто значение, а скорость его изменения. Разберём правила, формулы и примеры, чтобы считать производные без ошибок.
Что такое производная
Производная функции f(x) в точке x₀ – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx → 0:
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$Геометрически это тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Физически – мгновенная скорость изменения величины.
Калькулятор производных
Калькулятор выше позволяет вычислить производную любой функции с выводом промежуточных шагов. Введите выражение – получите результат и ход решения.
Таблица производных
Основные формулы, которые нужно знать наизусть:
| Функция f(x) | Производная f′(x) |
|---|---|
| C (константа) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln a |
| ln x | 1/x |
| logₐx | 1/(x · ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
| arcctg x | −1/(1 + x²) |
Правила дифференцирования
Одной таблицы недостаточно – функции комбинируются. Для вычисления производных применяют пять основных правил.
Постоянный множитель
$$(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$$Константа выносится перед производной: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
Сумма и разность
$$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$$Производная суммы равна сумме производных: (x² + sin x)′ = 2x + cos x.
Произведение
$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$Каждый множитель дифференцируется по очереди, другой остаётся без изменений. Пример: (x · ln x)′ = 1 · ln x + x · 1/x = ln x + 1.
Частное
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$$Знаменатель возводится в квадрат, в числителе – разность произведений. Пример: (x / eˣ)′ = (1 · eˣ − x · eˣ) / e²ˣ = (1 − x) / eˣ.
Сложная функция (цепное правило)
$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$Производная внешней функции умножается на производную внутренней. Это самое важное правило – оно применяется чаще всего.
Как вычислить производную сложной функции?
Разберём алгоритм на примере: y = sin(3x²).
- Определите внешнюю и внутреннюю функции. Внешняя – sin(u), внутренняя – u = 3x².
- Возьмите производную внешней функции по промежуточному аргументу u: (sin u)′ = cos u.
- Умножьте на производную внутренней функции: (3x²)′ = 6x.
- Результат: y′ = cos(3x²) · 6x.
Если вложений несколько – работайте снаружи внутрь, слой за слоем.
Ещё пример: y = ln(√(x + 1)).
- Внешняя: ln(u) → 1/u
- Средняя: √(v) → 1/(2√v)
- Внутренняя: x + 1 → 1
Примеры вычисления производных
Пример 1 – Степенная функция
Найти производную: f(x) = 4x⁵ − 3x² + 7x − 9.
По правилу суммы и степени:
f′(x) = 4 · 5x⁴ − 3 · 2x + 7 = 20x⁴ − 6x + 7
Пример 2 – Произведение
Найти производную: f(x) = x² · eˣ.
По правилу произведения:
f′(x) = 2x · eˣ + x² · eˣ = eˣ(x² + 2x)
Пример 3 – Частное
Найти производную: f(x) = (2x + 1) / (x − 3).
По правилу частного:
$$f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$$Пример 4 – Композиция функций
Найти производную: f(x) = cos(5x).
По цепному правилу:
f′(x) = −sin(5x) · 5 = −5sin(5x)
Производные высших порядков
Производная второго порядка – это производная от производной:
$$f''(x) = (f'(x))'$$Пример: f(x) = x³
- f′(x) = 3x²
- f″(x) = 6x
- f‴(x) = 6
Физический смысл: если f(x) – координата, то f′(x) – скорость, f″(x) – ускорение.
Типичные ошибки при вычислении
| Ошибка | Правильно |
|---|---|
| (sin x)′ = −cos x | (sin x)′ = cos x, знак минус у производной cos x |
| (x⁵)′ = 5x⁵ | Степень понижается: (x⁵)′ = 5x⁴ |
| (ln 3)′ = 1/3 | ln 3 – константа, (ln 3)′ = 0 |
| (eˣ)′ = xeˣ⁻¹ | Правило степени не работает для показательных функций: (eˣ)′ = eˣ |
| Забыть внутреннюю производную | В sin(2x) нужно умножить на 2: 2cos(2x) |
Статья носит справочный характер. Для проверки ответов используйте калькулятор производных выше.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить производную сложной функции?
Используйте цепное правило: производная сложной функции f(g(x)) равна f′(g(x)) · g′(x). Сначала берёте производную внешней функции, затем умножаете на производную внутренней.
Чему равна производная константы?
Производная любого числа-константы равна нулю: (C)′ = 0. График константы – горизонтальная прямая, у которой нет наклона, поэтому скорость изменения равна нулю.
Что означает производная, равная нулю?
В точке, где производная равна нулю, функция не растёт и не убывает – это точка экстремума (максимума или минимума). Касательная в такой точке горизонтальна.
Как найти производную второго порядка?
Возьмите производную от первой производной: f″(x) = (f′(x))′. Вторая производная показывает ускорение – скорость изменения самой скорости функции.
Чем отличается производная от дифференциала?
Производная f′(x) – это предел отношения приращений, число. Дифференциал dy = f′(x)dx – это линейная часть приращения функции, выражение.
Зачем нужна производная на практике?
Производная показывает скорость изменения величины: скорость тела по координате, темп роста прибыли, угол наклона графика. Без неё не обходится физика, экономика, инженерия.