Вычисление площади правильного многоугольника

6 мая 2026 г.

Правильный многоугольник – фигура, у которой все стороны равны и все углы одинаковы. Вычисление площади правильного многоугольника сводится к одной из четырёх формул в зависимости от известных данных: длины стороны, радиуса описанной или вписанной окружности, периметра.

Параметры многоугольника

Метод расчёта Выберите, какие исходные данные известны

Количество сторон (n) Целое число ≥ 3

Единицы измерения Например: см, м, км

Длина стороны (a) Положительное число

Результат вычислений

Площадь: – см²

Периметр (P): –
Длина стороны (a): –
Апофема (r): –
Радиус описанной окружности (R): –
Коэффициент при a² (k): –
Отношение к площади вписанного круга (S / πr²): –
Отношение к площади описанного круга (S / πR²): –

Использована формула: –

Справочная таблица коэффициентов (S = k × a²)

Фигура	n	Коэффициент k
Равносторонний треугольник	3	0,4330
Квадрат	4	1
Правильный пятиугольник	5	1,7205
Правильный шестиугольник	6	2,5981
Правильный семиугольник	7	3,6339
Правильный восьмиугольник	8	4,8284
Правильный десятиугольник	10	7,6942
Правильный двенадцатиугольник	12	11,1962

Универсальная формула площади правильного многоугольника

Если известны длина стороны a и количество сторон n, площадь вычисляется так:

S = (n × a²) / (4 × tan(π / n))

Здесь:

n – число сторон (целое число ≥ 3),
a – длина стороны,
π / n – половина центрального угла (то есть π делится на n, а не на 180°).

Эта формула работает для любого правильного многоугольника: от треугольника до сколь угодно большого n-угольника.

Пример. Правильный пятиугольник со стороной 6 см:

S = (5 × 6²) / (4 × tan(π / 5)) = (5 × 36) / (4 × 0,7265) = 180 / 2,9062 ≈ 61,94 см².

Формула через радиус описанной окружности

Если от центра до каждой вершины одинаковое расстояние R (радиус описанной окружности):

S = (n × R² × sin(2π / n)) / 2

Эту формулу удобно применять, когда многоугольник вписан в окружность заданного радиуса.

Пример. Правильный шестиугольник с R = 10:

S = (6 × 100 × sin(60°)) / 2 = (600 × 0,866) / 2 = 259,8.

Формула через радиус вписанной окружности (апофему)

Апофема r – расстояние от центра до середины стороны (она же радиус вписанной окружности). Формула:

S = n × r² × tan(π / n)

Апофема всегда короче радиуса описанной окружности R. Связь между ними: r = R × cos(π / n).

Формула через периметр и апофему

Если известны периметр P и апофема r, площадь находится как половина их произведения:

S = (P × r) / 2

Эта формула – частный случай разбиения n-угольника на n равных треугольников, основанием каждого из которых служит сторона, а высотой – апофема.

Площади правильных многоугольников от 3 до 12 сторон

Ниже – готовые формулы и числовые коэффициенты для распространённых правильных многоугольников. Подставьте длину стороны a и получите результат.

Фигура	Сторон (n)	Формула площади	Коэффициент (округл.)
Равносторонний треугольник	3	(√3 / 4) × a²	0,4330 × a²
Квадрат	4	a²	1 × a²
Правильный пятиугольник	5	(a² × √(25 + 10√5)) / 4	1,7205 × a²
Правильный шестиугольник	6	(3√3 / 2) × a²	2,5981 × a²
Правильный семиугольник	7	(7a² / 4) × cot(π / 7)	3,6339 × a²
Правильный восьмиугольник	8	2(1 + √2) × a²	4,8284 × a²
Правильный десятиугольник	10	(5a² / 2) × √(5 + 2√5)	7,6942 × a²
Правильный двенадцатиугольник	12	3(2 + √3) × a²	11,1962 × a²

Пошаговые примеры вычисления

Пример 1: площадь правильного шестиугольника со стороной 4 м

Определяем: n = 6, a = 4.
Подставляем в формулу: S = (6 × 4²) / (4 × tan(π / 6)).
tan(30°) = 1 / √3 ≈ 0,5774.
S = (6 × 16) / (4 × 0,5774) = 96 / 2,3094 ≈ 41,57 м².

Альтернативно: S = (3√3 / 2) × 16 = 24√3 ≈ 41,57 м².

Пример 2: площадь правильного восьмиугольника с R = 5

n = 8, R = 5.
S = (8 × 25 × sin(45°)) / 2.
sin(45°) = √2 / 2 ≈ 0,7071.
S = (200 × 0,7071) / 2 = 70,71.

Пример 3: площадь правильного треугольника с апофемой 3

n = 3, r = 3.
S = 3 × 9 × tan(60°) = 27 × 1,7321 ≈ 46,77.

Как многоугольник превращается в круг

При увеличении числа сторон при неизменном радиусе вписанной окружности r площадь правильного n-угольника стремится к площади круга πr²:

n	Площадь (r = 1)	Отклонение от π
3	5,196	65,9%
6	3,464	10,3%
12	3,215	2,5%
24	3,158	0,6%
100	3,1426	0,002%
∞	π ≈ 3,14159	0%

Это свойство использовал Архимед для приближённого вычисления числа π, ограничивая круг правильными 96-угольниками.

Какую формулу выбрать

Решение зависит от исходных данных:

Известны сторона и количество сторон → S = (n × a²) / (4 × tan(π / n)).
Известен радиус описанной окружности R → S = (n × R² × sin(2π / n)) / 2.
Известна апофема r → S = n × r² × tan(π / n).
Известны периметр P и апофема r → S = (P × r) / 2.

Если данные даны в одной системе, но формула нужна в другой, используйте переходные соотношения:

a = 2R × sin(π / n),
r = R × cos(π / n),
a = 2r × tan(π / n).

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается апофема от радиуса описанной окружности?

Апофема – расстояние от центра многоугольника до середины стороны (вписанная окружность). Радиус описанной окружности – расстояние от центра до вершины. Апофема всегда короче радиуса описанной окружности, и чем больше сторон, тем ближе их значения друг к другу.

Можно ли вычислить площадь правильного многоугольника, зная только периметр?

Нет, зная только периметр, площадь не определить однозначно. При одном и том же периметре площади правильных многоугольников с разным числом сторон различаются. Нужно также знать количество сторон или апофему.

Какая формула площади правильного многоугольника считается универсальной?

Универсальная формула: S = (n × a²) / (4 × tan(π/n)), где n – число сторон, a – длина стороны. Она подходит для любого правильного многоугольника от треугольника и далее.

Как площадь правильного многоугольника связана с числом π?

При увеличении числа сторон правильный многоугольник всё ближе приближается к кругу. Площадь стремится к πr², где r – радиус вписанной окружности. При n → ∞ разница между площадью многоугольника и круга стремится к нулю.

Всегда ли площадь правильного шестиугольника равна шести площадям равностороннего треугольника?

Да, правильный шестиугольник всегда можно разбить на 6 равных равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника. Поэтому S₆ = 6 × (√3/4) × a² = (3√3/2) × a².

Какую формулу использовать, если известен только радиус вписанной окружности?

Формула: S = n × r² × tan(π/n), где r – радиус вписанной окружности (апофема), n – количество сторон. Эта формула удобна, когда известно расстояние от центра до стороны, а не до вершины.