Вычисление матриц

Когда система линейных уравнений превращается в компактную таблицу чисел, наступает черёд вычисления матриц. Без матричных операций не работают компьютерная графика, машинное обучение и экономическое моделирование – любые задачи, где данные представлены массивами.

Что такое матрица

Матрица – прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Размер записывают как m × n. Числа называют элементами матрицы, а их позицию обозначают aᵢⱼ, где i – номер строки, j – номер столбца.

Квадратная матрица имеет одинаковое число строк и столбцов (n × n). Для неё определены дополнительные операции: определитель, обратная матрица, собственные значения.

Основные операции с матрицами

Калькулятор выше поддерживает все описанные ниже операции – от сложения до нахождения обратной матрицы.

Сложение и вычитание

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера. Результат – матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме или разности соответствующих элементов.

Cᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ   (сложение)
Cᵢⱼ = Aᵢⱼ − Bᵢⱼ   (вычитание)

Пример сложения матриц 2×2:

| 1  3 |   | 5  2 |   | 6   5 |
| 4  7 | + | 0  1 | = | 4   8 |

Умножение матрицы на число (скаляр) – каждый элемент умножается на это число: (kA)ᵢⱼ = k · Aᵢⱼ.

Умножение матриц

Умножить матрицу A (m × n) на матрицу B (n × k) можно, только если число столбцов A равно числу строк B. Результат – матрица C размером m × k.

Cᵢⱼ = Σ Aᵢₖ · Bₖⱼ  (суммирование по k от 1 до n)

Пошагово для элемента C₁₁:

1. Умножьте первый элемент строки 1 матрицы A на первый элемент столбца 1 матрицы B
2. Умножьте второй элемент строки 1 матрицы A на второй элемент столбца 1 матрицы B
3. Сложите произведения

Пример: A (2×3) × B (3×2) = C (2×2):

A = | 1  2  3 |    B = | 7   8 |
    | 4  5  6 |        | 9  10 |
                       |11  12 |

C₁₁ = 1·7 + 2·9 + 3·11 = 7 + 18 + 33 = 58
C₁₂ = 1·8 + 2·10 + 3·12 = 8 + 20 + 36 = 64
C₂₁ = 4·7 + 5·9 + 6·11 = 28 + 45 + 66 = 139
C₂₂ = 4·8 + 5·10 + 6·12 = 32 + 50 + 72 = 154

C = | 58   64 |
    |139  154 |

Умножение некоммутативно: A × B ≠ B × A в общем случае.

Транспонирование

Транспонированная матрица Aᵀ получается заменой строк на столбцы: (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ. Размер меняется с m × n на n × m.

A = | 1  2  3 |    Aᵀ = | 1  4 |
    | 4  5  6 |          | 2  5 |
                           | 3  6 |

Как найти определитель матрицы

Определитель (детерминант) вычисляется только для квадратных матриц. Обозначается det(A) или |A|.

Матрица 2×2

det(A) = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁

Пример:

| 3  5 |
| 2  7 |

det = 3·7 − 5·2 = 21 − 10 = 11

Матрица 3×3 (правило Саррюса)

det(A) = a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂
       − a₁₃·a₂₂·a₃₁ − a₁₁·a₂₃·a₃₂ − a₁₂·a₂₁·a₃₃

Для матриц большего размера применяют разложение по строке (столбцу) через миноры и алгебраические дополнения или метод Гаусса приведения к треугольному виду.

Если det(A) = 0, матрица вырожденная – обратной матрицы не существует.

Обратная матрица

Обратная матрица A⁻¹ удовлетворяет условию: A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = E, где E – единичная матрица.

Условие существования: det(A) ≠ 0.

Формула для матрицы 2×2

A = | a  b |    A⁻¹ = 1/(ad−bc) · |  d  −b |
    | c  d |                             | −c   a |

Пример:

A = | 2  3 |    det = 2·5 − 3·1 = 7
    | 1  5 |

A⁻¹ = 1/7 · |  5  −3 | = | 5/7  −3/7 |
             | −1   2 |   |−1/7   2/7 |

Метод присоединённой матрицы (для n × n)

1. Вычислите определитель. Если det = 0 – обратной матрицы нет
2. Найдите алгебраические дополнения Aᵢⱼ для каждого элемента
3. Составьте матрицу из алгебраических дополнений
4. Транспонируйте её – получите присоединённую матрицу (adj A)
5. Умножьте каждый элемент на 1/det(A)

Метод Гаусса-Жордана

Припишите к матрице A единичную матрицу E справа: [A | E]. Элементарными преобразованиями строк приведите левую часть к E – справа получится A⁻¹.

Ранг матрицы

Ранг – максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Обозначается r(A) или rank(A).

Способы нахождения:

• Метод окаймляющих миноров – находите миноры возрастающего порядка, пока все миноры порядка k+1 не станут нулевыми
• Метод Гаусса – приведите матрицу к ступенчатому виду; ранг равен числу ненулевых строк

Ранг не меняется при элементарных преобразованиях: перестановке строк, умножении строки на ненулевое число, прибавлении к строке другой строки, умноженной на число.

Где применяются матричные вычисления

Решение систем линейных уравнений – прямое применение: система n уравнений с n неизвестными записывается как A·x = b, где A – матрица коэффициентов, x – вектор неизвестных, b – вектор свободных членов. При det(A) ≠ 0 решение: x = A⁻¹·b.

Свойства операций

Сложение и умножение матриц подчиняются ряду правил:

• A + B = B + A (коммутативность сложения)
• (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения)
• (A × B) × C = A × (B × C) (ассоциативность умножения)
• A × (B + C) = A × B + A × C (дистрибутивность)
• det(A × B) = det(A) · det(B)
• (A × B)ᵀ = Bᵀ × Aᵀ
• (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹

Матричные вычисления в финансовых и инженерных задачах требуют проверки входных данных; при работе с вырожденными матрицами используйте псевдообращение (Мура–Пенроуза).