Обновлено: 6 мая 2026 г.

Вычисление диагонали

Когда нужно проверить, ровный ли угол при разметке фундамента, или подобрать размер телевизора по диагонали экрана, без расчёта диагонали не обойтись. Формулы для разных фигур отличаются, но все они опираются на теорему Пифагора. Ниже – конкретные формулы, подстановка значений и примеры для прямоугольника, квадрата, куба и параллелепипеда.

Калькулятор диагонали

Как вычислить диагональ прямоугольника

Диагональ прямоугольника – отрезок, соединяющий противоположные вершины. Он делит фигуру на два равных прямоугольных треугольника, где диагональ выступает гипотенузой.

Формула:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

где a и b – стороны прямоугольника.

Пример: стороны 8 и 6 см.

$$d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Калькулятор выше вычислит результат за секунды – достаточно ввести две стороны.

Какова формула диагонали квадрата?

Квадрат – частный случай прямоугольника, где a = b. Подставим это в формулу:

$$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

Формула диагонали квадрата:

$$d = a \cdot \sqrt{2} \approx 1{,}414 \cdot a$$

Пример: сторона квадрата 5 см.

$$d = 5 \cdot \sqrt{2} \approx 5 \cdot 1{,}414 = 7{,}07 \text{ см}$$

Если известна диагональ, сторону можно найти обратным путём: a = d / √2 ≈ d / 1,414.

Вычисление диагонали прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед – трёхмерная фигура с тремя измерениями: длина (a), ширина (b), высота (c). Его пространственная диагональ проходит от одной вершины к противоположной через внутренний объём.

Формула:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Это обобщение теоремы Пифагора на три измерения.

Пример: измерения 3, 4 и 12 см.

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

Диагональ куба: формула и пример

Куб – параллелепипед с равными гранями: a = b = c. Диагональ грани и пространственная диагональ – разные величины:

Тип диагонали	Формула	Значение при a = 5
Диагональ грани	$a\sqrt{2}$	7,07
Пространственная диагональ куба	$a\sqrt{3}$	8,66

Пространственная диагональ куба:

$$d = a \cdot \sqrt{3} \approx 1{,}732 \cdot a$$

Диагональ грани параллелепипеда

У прямоугольного параллелепипеда три пары граней, и у каждой – своя диагональ:

передняя/задняя грань: $d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$
боковая грань: $d_2 = \sqrt{a^2 + c^2}$
верхняя/нижняя грань: $d_3 = \sqrt{b^2 + c^2}$

Все три диагонали граней – это плоские диагонали соответствующих прямоугольников.

Практические случаи вычисления диагонали

Размер экрана

Производители указывают размер экрана в дюймах по диагонали. Чтобы перевести в сантиметры, умножьте на 2,54:

32″ ≈ 81 см
55″ ≈ 140 см
65″ ≈ 165 см

Для экрана 16:9 с диагональю 55″ ширина ≈ 121 см, высота ≈ 68 см.

Проверка прямоугольности

При строительстве проверяют равенство диагоналей прямоугольника. Если d₁ = d₂ – углы прямые. Для комнаты 4 × 6 м диагональ должна быть √(16 + 36) = √52 ≈ 7,21 м. Обе диагонали должны совпадать.

Раскрой материалов

При раскрое листа или ткани по диагонали длина реза равна диагонали прямоугольника. Лист 120 × 80 см – рез √(14 400 + 6 400) = √20 800 ≈ 144 см.

Связь диагонали с площадью и периметром

Для прямоугольника диагональ можно выразить через другие параметры:

Через площадь S и одну сторону a: $d = \sqrt{a^2 + (S/a)^2}$
Через периметр P и одну сторону a: $d = \sqrt{a^2 + ((P - 2a)/2)^2}$

Для квадрата формулы проще:

Через площадь: $d = \sqrt{2S}$
Через периметр: $d = \frac{P\sqrt{2}}{4}$

Эти выражения полезны, когда известна не сторона, а производная величина.

Статья носит справочный характер. При строительных расчётах сверяйтесь с СНиП и проектной документацией.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить диагональ прямоугольника?

Диагональ прямоугольника равна квадратному корню из суммы квадратов сторон: d = √(a² + b²). Подставьте значения длины и ширины, возведите каждое в квадрат, сложите и извлеките корень.

Можно ли найти диагональ, зная только площадь?

Только по площади – нет, поскольку одному значению площади соответствуют разные пары сторон, дающие разные диагонали. Нужна дополнительная информация: соотношение сторон, периметр или одна из сторон.

Чем отличается диагональ грани куба от диагонали самого куба?

Диагональ грани соединяет противоположные углы одной грани и равна a√2. Диагональ куба проходит через внутреннее пространство от одного угла к противоположному и равна a√3.

Какая формула диагонали параллелепипеда?

Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле d = √(a² + b² + c²), где a, b, c – три его измерения (длина, ширина, высота).

Зачем нужно вычисление диагонали на практике?

Диагональ нужна при проверке прямоугольности помещений и фундаментов, расчёте размеров экранов (телевизоры, мониторы), проектировании мебели, раскрое материалов и определении кратчайшего расстояния между точками.