Возведение в степень

Что такое возведение в степень

Возведение в степень — это математическая операция, при которой число (основание) умножается на себя определённое количество раз. Показатель степени указывает, сколько раз нужно умножить основание. Обозначается как aⁿ, где a — основание, n — показатель.

Примеры:

• 3² = 3 × 3 = 9
• 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
• 5¹ = 5

Основные правила и формулы

Целые положительные показатели

Базовый случай: число умножается на себя n раз.

Свойства степеней:

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (произведение степеней)
• aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (частное степеней)
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (степень степени)
• (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ (степень произведения)

Нулевая степень

Любое число в нулевой степени равно 1:

• a⁰ = 1 (при a ≠ 0)
• 7⁰ = 1
• 100⁰ = 1

Отрицательная степень

Отрицательная степень — это обратное число в положительной степени:

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Примеры:

• 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125
• 10⁻² = 1/100 = 0,01
• 5⁻¹ = 1/5 = 0,2

Дробная степень

Дробный показатель означает извлечение корня:

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

• Числитель — степень, в которую возводят
• Знаменатель — степень корня

Примеры:

• 8^(1/3) = ³√8 = 2
• 16^(1/2) = √16 = 4
• 27^(2/3) = ³√(27²) = ³√729 = 9

Как пользоваться калькулятором

1. Введите основание (число, которое возводите)
2. Введите показатель степени (целый, дробный или отрицательный)
3. Нажмите кнопку «Вычислить»
4. Получите результат с подробным расчётом

Калькулятор работает со всеми типами чисел: целыми, десятичными, дробными, отрицательными.

Практические примеры

Пример 1: Возведение в целую положительную степень

Задача: Вычислить 3⁵

Решение: 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Результат: 243

Пример 2: Отрицательная степень

Задача: Вычислить 2⁻⁴

Решение: 2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16 = 0,0625

Результат: 0,0625

Пример 3: Дробная степень

Задача: Вычислить 32^(1/5)

Решение: 32^(1/5) = ⁵√32 = 2 (потому что 2⁵ = 32)

Результат: 2

Пример 4: Отрицательное основание

Задача: Вычислить (-2)⁴

Решение: (-2)⁴ = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16

Результат: 16 (чётная степень всегда положительна)

Применение в жизни

• Физика: формула кинетической энергии E = mv²/2
• Финансы: формула сложных процентов A = P(1 + r)ⁿ
• Информатика: объём памяти и мощность системы (2ⁿ)
• Геометрия: площадь (м²) и объём (м³)
• Биология: экспоненциальный рост популяций

Важные замечания

• Делить на ноль нельзя: 0⁻ⁿ не существует
• Отрицательное основание и дробный показатель: возможны только при определённых условиях (требует осторожности)
• Большие степени: значения растут очень быстро (2¹⁰ = 1024, 2²⁰ = 1 048 576)
• Порядок операций: сначала возведение в степень, потом умножение/деление

Используйте калькулятор для проверки результатов и экономии времени на вычисления.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.