Решение треугольника по известному углу

17 мая 2026 г.

Задачи, где в треугольнике дан угол и требуется найти все остальные элементы – стороны, площадь, высоты или радиусы окружностей, – встречаются в школьном курсе геометрии, ЕГЭ и ОГЭ. Ключ к решению – правильный выбор теоремы в зависимости от исходных данных: иногда достаточно свойств прямоугольного треугольника, а в других случаях необходимы теоремы синусов или косинусов.

Когда решение возможно: минимальные исходные данные

Для однозначного восстановления всех параметров треугольника недостаточно знать только углы. Необходимы три независимых элемента, среди которых обязательно присутствует хотя бы одна сторона.

Основные комбинации для решения:

Две стороны и угол между ними (SAS)
Сторона и два прилежащих угла (ASA)
Три стороны (SSS)
Две стороны и угол против одной из них (SSA – частный случай с возможной неоднозначностью)

Основные формулы для расчёта

Теорема о сумме углов

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

$$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$

Если известны два угла, третий находится вычитанием из 180°.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

где $a$, $b$, $c$ – стороны, противолежащие углам $A$, $B$, $C$ соответственно, $R$ – радиус описанной окружности.

Теорема косинусов

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C$$

Эта теорема универсальна: она работает для любого треугольника, включая прямоугольный (при $C = 90°$, $\cos 90° = 0$, получается теорема Пифагора).

Площадь через сторону и углы

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C = \frac{abc}{4R} = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$$

Примеры решения типовых задач

Задача 1: Прямоугольный треугольник

Условие: В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($∠C = 90°$) угол $A$ равен 30°, а гипотенуза $AB = 10$. Найдите сторону $BC$ и площадь.

Решение: В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы:

$$BC = AB \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$$

Второй катет найдём через теорему Пифагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$

Площадь:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{25\sqrt{3}}{2} \approx 21{,}65$$

Задача 2: По двум углам и стороне

Условие: В треугольнике $ABC$ угол $A = 45°$, угол $B = 60°$, сторона $AB = 12$. Найдите сторону $BC$.

Решение:

Найдём угол $C$: $180° - 45° - 60° = 75°$
Корень $BC$ противолежит углу $A$. По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$$$$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{12 \cdot \sin 45°}{\sin 75°} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{12\sqrt{2} \cdot 4}{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$$

Рационализуем знаменатель, умножив на $\sqrt{6}-\sqrt{2}$:

$$BC = \frac{24\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{24\sqrt{12}-24\sqrt{4}}{4} = \frac{48\sqrt{3}-48}{4} = 12(\sqrt{3}-1) \approx 8{,}78$$

Задача 3: По двум сторонам и углу между ними

Условие: Стороны $AC = 7$, $BC = 8$, угол $C = 60°$. Найдите сторону $AB$ и радиус описанной окружности.

Решение: По теореме косинусов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$$

$$AB^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 113 - 56 = 57$$

$$AB = \sqrt{57} \approx 7{,}55$$

Радиус описанной окружности через теорему синусов:

$$2R = \frac{AB}{\sin C} = \frac{\sqrt{57}}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{57}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{57}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{19}$$$$R = \sqrt{19} \approx 4{,}36$$

Типичные ошибки при решении

Ошибка единиц измерения. Углы в формулы подставляют либо в градусах (тригонометрические таблицы калькулятора в режиме DEG), либо в радианах (режим RAD). Смешение приведёт к неверному результату.

Игнорирование неоднозначности случая SSA. Если даны две стороны и угол, противолежащий меньшей из них, задача может иметь два решения (два разных треугольника), одно решение или не иметь решений вовсе.

Неправильное определение противолежащих сторон. Сторона $a$ всегда лежит против угла $A$, сторона $b$ – против угла $B$, сторона $c$ – против угла $C$. Путаница в обозначениях – частая причина ошибок в вычислениях.

Информация предоставлена в образовательных целях. При подготовке к экзаменам рекомендуется сверяться с актуальными справочниками и программами.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли решить треугольник, зная только один угол?

Нет. Одного угла недостаточно. Для однозначного определения всех сторон нужно минимум три элемента, включая хотя бы одну сторону. Только углы задают форму, но не размер треугольника.

Что такое "решение треугольника"?

Это процесс нахождения всех неизвестных элементов (сторон, углов, высот, медиан, радиусов вписанной и описанной окружностей) по трём заданным независимым элементам, среди которых обязательно есть длина хотя бы одной стороны.

Как найти третий угол, если известны два?

Используйте теорему о сумме углов треугольника: третий угол равен 180° минус сумма двух известных. Например, при углах 50° и 60° третий будет 180° − (50° + 60°) = 70°.

Как определить стороны, если известны только углы?

Абсолютные длины сторон найти невозможно. Можно определить только их отношения через теорему синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. Для точных значений нужна хотя бы одна сторона.

Какую сторону ищут в задачах "найдите ВС"?

В геометрии принято обозначать вершины латинскими буквами A, B, C. Сторона ВС (или a) – это сторона, противолежащая вершине A, соединяющая вершины B и C. Аналогично, сторона AC противолежит B, а AB – противолежит C.