Высота треугольника

В треугольнике найдите высоту – один из самых частых запросов в школьной геометрии. Высота нужна для расчёта площади, решения задач на подобие и построений. Ниже – все основные формулы с готовыми ответами для типовых случаев.

Что такое высота и зачем её искать

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Каждый треугольник имеет три высоты, и все они пересекаются в одной точке – ортоцентре.

На практике высоту чаще всего вычисляют, чтобы:

• найти площадь, когда она не дана напрямую;
• определить координаты или построить фигуру;
• решить задачу с медианами, биссектрисами или подобием.

Как найти высоту через площадь и основание

Базовая формула исходит из расчёта площади:

S = ½·a·h, где a – сторона, к которой проведена высота h.

Отсюда:

h = 2S / a

Это самый простой путь: получили площадь любым способом (формула Герона, произведение катетов, основание на полувысоту) – сразу делите удвоенную площадь на нужную сторону.

Пример. Площадь треугольника 24 см², основание 8 см. Тогда h = 2·24 / 8 = 6 см.

По трём сторонам без построения (формула Герона)

Если известны три стороны a, b, c, и надо найти высоту, опущенную на сторону a:

1. Посчитайте полупериметр: p = (a + b + c) / 2.
2. Найдите площадь по Герону: S = √(p·(p-a)·(p-b)·(p-c)).
3. Подставьте в h = 2S / a.

Можно и сразу одной формулой:

hₐ = (2/a)·√(p·(p-a)·(p-b)·(p-c))

Пример. Стороны 13, 14, 15 см. Полупериметр = 21. S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см². Высота к стороне 13 см: h = 2·84/13 ≈ 12,92 см.

Высота в прямоугольном треугольнике

Здесь возможны четыре типичных запроса.

1. Катет как высота

Если нужно найти высоту, проведённую из прямого угла к гипотенузе, это h. Её вычисляют через катеты a и b и гипотенузу c:

h = (a·b) / c

Потому что площадь можно записать и как ½·a·b (катеты), и как ½·c·h.

Пример. Катеты 6 и 8, гипотенуза 10. h = 6·8/10 = 4,8.

2. Высота равна катету

Если высоту проводят к катету из противоположной вершины, она совпадает со вторым катетом. Искать особо нечего, просто второй катет и есть высота.

3. Высота через проекции

h = √(c₁·c₂), где c₁ и c₂ – проекции катетов на гипотенузу.

4. Через острый угол и гипотенузу

h = c·sin(α)·cos(α) = c·sin(2α)/2, где α – один из острых углов.

Высота в равнобедренном и равностороннем треугольнике

Равнобедренный

Высота, опущенная на основание, одновременно является медианой и биссектрисой. Её находят по теореме Пифагора:

h = √(b² – (a/2)²), где b – боковая сторона, a – основание.

Пример. Основание 10 см, боковая сторона 13 см. h = √(13² – 5²) = √(169–25) = √144 = 12 см.

Равносторонний

Все стороны a. Тогда:

h = a·√3 / 2 ≈ 0,866·a

Три высоты одинаковы.

Пример. a = 10 см → h ≈ 8,66 см. a = 14 см → h ≈ 12,12 см.

Через угол и прилежащую сторону

Когда нет площади, но известна сторона b и угол α между ней и основанием:

h = b·sin(α)

Это работает для любой стороны, если вы знаете угол между ней и той стороной, куда падает высота.

Пример. Сторона b = 12 см, угол α = 30°. h = 12·sin(30°) = 12·0,5 = 6 см.

Таблица быстрых ответов для типовых задач

Все перечисленные формулы дают точный ответ без дополнительных построений. Если под рукой есть интернет, воспользуйтесь нашим калькулятором выше – он считает высоту по любым доступным данным за секунду.