Обновлено: 7 мая 2026 г.

В треугольнике ABC найдите высоту

Высота треугольника ABC – ключевой элемент для решения задач на площадь, подобие и тригонометрию. В зависимости от исходных данных (стороны, углы, координаты или площадь) используются разные формулы.

Способы нахождения высоты

Через площадь и основание

Самый универсальный метод. Если известна площадь S и сторона a (BC), на которую опущена высота hₐ:

hₐ = 2S / a

Аналогично для других сторон: hᵦ = 2S / b, hᶜ = 2S / c.

Пример: Площадь треугольника 30 см², сторона BC = 10 см. Высота hₐ = 2 × 30 / 10 = 6 см.

Через стороны и синус угла

Когда заданы две стороны и угол между ними:

hₐ = c × sin(B) = b × sin(C)
hᵦ = a × sin(C) = c × sin(A)
hᶜ = a × sin(B) = b × sin(A)

где a, b, c – стороны, лежащие против вершин A, B, C соответственно.

Через все три стороны (формула Герона)

Если известны все стороны a, b, c:

Найдите полупериметр: p = (a + b + c) / 2
Площадь: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
Высота: hₐ = 2S / a

Для равностороннего треугольника

При a = b = c:

h = (a√3) / 2

Через координаты вершин

Если точки заданы координатами A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃):

Найдите уравнение прямой для стороны, на которую опускается высота (например, BC)
Используйте формулу расстояния от точки до прямой:
hₐ = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)

где Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой BC.

Как найти высоту, если известны стороны треугольника?

При наличии всех трёх сторон последовательность действий:

Вычислите полупериметр p = (a + b + c) / 2
Найдите площадь по формуле Герона: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
Подставьте в формулу высоты: hₐ = 2S / a

Задача: В треугольнике ABC стороны AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Найдите высоту, опущенную на сторону BC.

Решение:

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см
S = √[21 × (21-13) × (21-14) × (21-15)] = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84 см²
hₐ = 2 × 84 / 14 = 12 см

Свойства высот

Ортоцентр – точка пересечения трёх высот. В остроугольном треугольнике лежит внутри, в прямоугольном – совпадает с вершиной прямого угла, в тупоугольном – вне треугольника.
В равностороннем треугольнике высота совпадает с медианой и биссектрисой.
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является одновременно медианой и биссектрисой.
Произведение стороны на соответствующую высоту постоянно для данного треугольника: a × hₐ = b × hᵦ = c × hᶜ = 2S.

Проверка результата

После вычисления убедитесь в правильности:

Высота не может быть отрицательной или равной нулю (вырожденный случай)
В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами
Сумма любых двух высот больше третьей (аналогично сторонам)

Часто задаваемые вопросы

Что такое высота в треугольнике ABC?

Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Обозначается h с индексом стороны, например hₐ – высота на сторону a (BC).

Сколько высот имеет треугольник?

У любого треугольника три высоты. Они пересекаются в одной точке – ортоцентре. В остроугольном треугольнике ортоцентр внутри, в тупоугольном – снаружи.

Как найти высоту, если известна площадь?

Используйте формулу h = 2S / a, где S – площадь, а – основание, на которое опущена высота. Например, при S = 24 см² и стороне a = 8 см получаем h = 6 см.

Как вычислить высоту через две стороны и угол между ними?

Если известны стороны b и c и угол A между ними, высота на сторону b равна h = c × sin(A). Аналогично для других сторон.

Какая формула высоты для равностороннего треугольника?

Высота равностороннего треугольника со стороной a вычисляется как h = (a√3) / 2. Например, при a = 10 см высота составит 5√3 ≈ 8,66 см.

Высота может быть больше стороны треугольника?

Да, в тупоугольных треугольниках высота, опущенная из вершины острого угла на противоположную сторону, может превышать длину этой стороны.