Точки, соответствующие числам

Что такое точка, соответствующая числу?

В математике связь между числами и геометрическими объектами является фундаментальной. Когда мы говорим о точке, соответствующей числу, мы чаще всего имеем в виду её положение на числовой прямой. Числовая прямая (или координатная ось) — это прямая, на которой выбраны:

1. Точка отсчета (начало координат), которой соответствует число 0.
2. Направление (обычно вправо), которое считается положительным.
3. Масштаб (единичный отрезок) — отрезок, длина которого принимается за единицу.

Каждой точке на этой прямой соответствует одно-единственное действительное число, и наоборот, каждому числу соответствует одна точка. Это взаимно однозначное соответствие является основой для понимания координат.

Построение точек на числовой прямой

Построить точку по заданному числу — простая задача.

Пошаговый алгоритм:

1. Нарисуйте горизонтальную прямую.
2. Отметьте на ней точку O — это будет начало отсчета (число 0).
3. Справа от точки O положительное направление, слева — отрицательное.
4. Выберите единичный отрезок — это может быть длина одной клетки в тетради или любой другой удобный отрезок.
5. Чтобы поставить точку, соответствующую числу a:
   • Если a > 0 (положительное число), отложите от нуля вправо a единичных отрезков.
   • Если a < 0 (отрицательное число), отложите от нуля влево |a| (модуль числа) единичных отрезков.
   • Если a = 0, точка совпадает с началом координат.

Пример: Построим точки, соответствующие числам 3, -2.5 и 5.

• От нуля откладываем 3 единичных отрезка вправо — получаем точку A(3).
• От нуля откладываем 2.5 единичных отрезка влево — получаем точку B(-2.5).
• От нуля откладываем 5 единичных отрезков вправо — получаем точку C(5).

Точки на координатной плоскости

Когда мы переходим от прямой к плоскости, каждой точке соответствует уже не одно число, а пара чисел (координат). Это декартова система координат, состоящая из двух перпендикулярных числовых прямых:

• Ось абсцисс (Ox) — горизонтальная ось.
• Ось ординат (Oy) — вертикальная ось.

Точка пересечения осей — начало координат O(0; 0).

Координаты точки записываются в скобках через точку с запятой: A(x; y), где:

• x (абсцисса) — показывает, на сколько единиц точка смещена вправо или влево от оси Oy.
• y (ордината) — показывает, на сколько единиц точка смещена вверх или вниз от оси Ox.

Как построить точку по её координатам?

Алгоритм построения точки A(x; y):

1. Найдите на оси Ox число x.
2. Из этой точки проведите перпендикуляр к оси Ox (вспомогательную линию).
3. Найдите на оси Oy число y.
4. Из этой точки проведите перпендикуляр к оси Oy.
5. Точка пересечения двух перпендикуляров и есть искомая точка A(x; y).

Пример: Построим точку M(-4; 3).

1. На оси Ox находим число -4 (четыре единицы влево от нуля).
2. На оси Oy находим число 3 (три единицы вверх от нуля).
3. Из точки (-4) на оси Ox проводим вертикальную линию, а из точки (3) на оси Oy — горизонтальную.
4. Их пересечение — точка M(-4; 3), которая находится в II координатной четверти.

Применение и практические примеры

Понимание соответствия между числами и точками — это не просто теория.

• Графики функций: Любой график функции, например y = 2x + 1, — это множество точек на координатной плоскости, у которых координаты (x; y) связаны этой формулой. Строить графики — значит находить и соединять такие точки.
• Системы координат в географии: GPS-навигаторы работают по схожему принципу, используя широту и долготу для определения точного местоположения на поверхности Земли.
• Компьютерная графика и игры: Положение каждого объекта, персонажа или пикселя на экране определяется его координатами (x; y).

Проверка себя

Чтобы убедиться, что вы поняли материал, попробуйте выполнить простое упражнение. Начертите в тетради координатную плоскость и отметьте следующие точки: A(2; 5), B(-3; -1), C(0; 4), D(6; 0).

• Точка A находится в I четверти.
• Точка B — в III четверти.
• Точка C лежит на оси Oy.
• Точка D лежит на оси Ox.

Успешное выполнение этого задания подтверждает, что вы освоили основы построения точек, соответствующих числам и их парам. Это ключевое умение для дальнейшего изучения математики, физики и других точных наук.

Заключение

Итак, точка, соответствующая числу, — это базовый элемент, связывающий алгебру и геометрию. На числовой прямой это однозначное соответствие, а на плоскости — соответствие между парой чисел и точкой. Умение свободно оперировать этими понятиями открывает дверь к пониманию графиков, векторов, аналитической геометрии и многих других прикладных дисциплин.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.