Таблица истинности: полное руководство

Таблица истинности — один из ключевых инструментов математической логики, программирования и цифровой электроники. С её помощью можно наглядно увидеть, как ведёт себя логическое выражение при всех возможных наборах входных значений.

В этой статье вы узнаете:

• что такое таблица истинности и как её читать;
• как пошагово строить её вручную;
• как пользоваться онлайн‑калькулятором таблицы истинности на этой странице;
• типичные таблицы для основных логических операций;
• где таблицы истинности применяются в учёбе и работе.

Что такое таблица истинности

Таблица истинности — это таблица, в которой:

• по столбцам записаны:
  • логические переменные (A, B, C и т.д.),
  • промежуточные части выражения,
  • итоговое выражение;
• по строкам перечислены все возможные комбинации значений переменных (истина/ложь, 1/0);
• в каждой строке указан результат выражения при данной комбинации значений.

Например, если есть выражение A И B (читается: «A и B»), то таблица истинности показывает, когда оно будет истинным, а когда — ложным.

Как читается таблица истинности

Стандартный вид таблицы:

• каждый столбец — это либо переменная (A, B, C), либо часть выражения (например, A И B, ¬A, (A И B) ИЛИ C);
• каждая строка — набор значений переменных. Для n переменных будет 2ⁿ строк:
  • 2 переменные → 4 строки;
  • 3 переменные → 8 строк;
  • 4 переменные → 16 строк и т.д.

Обычно значения записывают как:

• 1 — истина (true),
• 0 — ложь (false).

Так удобнее считать и использовать таблицу в вычислениях и схемах.

Логические значения и операции

Чтобы уверенно работать с таблицами истинности, нужно понимать базовые логические значения и операции.

Логические значения

У нас всего два логических значения:

• истина — обозначают как И, T, True или 1;
• ложь — обозначают как Л, F, False или 0.

В таблицах истинности в школе обычно используют 0 и 1.

Основные логические операции

Наиболее часто используются:

• НЕ (отрицание) — ¬A или !A или NOT A;
• И (конъюнкция) — A ∧ B или A & B или A AND B;
• ИЛИ (дизъюнкция) — A ∨ B или A | B или A OR B.

Рассмотрим их таблицы истинности.

Отрицание (НЕ)

Отрицание меняет значение на противоположное.

Конъюнкция (И)

A И B истинно только тогда, когда оба выражения истинны.

Дизъюнкция (ИЛИ)

A ИЛИ B истинно, если хотя бы одно из высказываний истинно (обычное, «включающее» ИЛИ).

Дополнительные операции

Часто используют ещё несколько операций.

Исключающее ИЛИ (XOR)

Истинно, если истинно ровно одно из высказываний.

Обозначения: A ⊕ B, A XOR B, A ^ B.

Импликация (если…, то…)

A → B читается: «если A, то B».

По смыслу в логике это не совсем то же самое, что бытовое «если… то…», из-за этого часто возникает путаница. В таблице истинности импликация ложна только в одном случае: когда A истинно, а B ложно.

Эквиваленция (равносильность)

A ↔ B истинно, когда A и B имеют одинаковое значение.

Как вручную построить таблицу истинности

Рассмотрим общий алгоритм, который пригодится и для школы (ОГЭ, ЕГЭ), и для вузовских задач.

Шаг 1. Запишите выражение и расставьте скобки

Пример выражения:

(¬A ∧ B) ∨ C

Такая запись однозначно задаёт порядок действий:

1. сначала ¬A,
2. потом ¬A ∧ B,
3. потом (¬A ∧ B) ∨ C.

Шаг 2. Определите все переменные

В примере выше используются переменные:

• A,
• B,
• C.

Значит, будет 3 переменные → 2³ = 8 строк в таблице.

Шаг 3. Составьте структуру таблицы

Нарисуйте таблицу со столбцами:

• A
• B
• C
• ¬A
• ¬A ∧ B
• (¬A ∧ B) ∨ C

Заголовки лучше расположить в порядке вычислений, чтобы удобнее считать.

Шаг 4. Переберите все комбинации значений

Для трёх переменных удобно использовать «бинарный счёт»:

Правило простое:

• самый правый столбец (C) меняется через каждую строку: 0, 1, 0, 1, …;
• следующий (B) меняется через каждые две строки: 0, 0, 1, 1, …;
• следующий (A) — через каждые четыре строки: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1.

Это удобно и для ручного построения, и для понимания работы калькулятора.

Шаг 5. Заполните промежуточные столбцы и итог

Посчитаем выражение (¬A ∧ B) ∨ C по строкам.

1. Сначала считаем ¬A.
2. Потом ¬A ∧ B.
3. Потом (¬A ∧ B) ∨ C.

Так вы получаете полную таблицу истинности для данного выражения.

Почему для многих переменных нужен калькулятор

Число строк растёт очень быстро:

• 2 переменные → 4 строки;
• 3 переменные → 8 строк;
• 4 переменные → 16 строк;
• 5 переменных → 32 строки;
• 6 переменных → 64 строки и т.д.

Уже при 4–5 переменных:

• легко запутаться в комбинациях;
• возрастает риск ошибок при ручных вычислениях.

В таких случаях гораздо надёжнее использовать онлайн‑калькулятор таблицы истинности, а руками считать только контрольные примеры.

Онлайн‑калькулятор таблицы истинности

На этой странице предусмотрен интерактивный инструмент (виджет), который автоматически строит таблицу истинности для введённого логического выражения.

Что умеет калькулятор

Типичный функционал калькулятора таблицы истинности:

• принимает логическое выражение в одной строке;
• поддерживает несколько логических операторов;
• определяет переменные автоматически или позволяет задать их вручную;
• строит полную таблицу истинности (все 2ⁿ комбинаций);
• по желанию показывает промежуточные столбцы (для подвыражений).

Поддерживаемый синтаксис выражений

Чаще всего используются следующие обозначения:

• переменные: A, B, C, X, Y, Z (заглавные латинские буквы);
• отрицание (НЕ):
  • !A
  • или NOT A;
• И (конъюнкция):
  • A & B
  • или A AND B;
• ИЛИ (дизъюнкция):
  • A | B
  • или A OR B;
• исключающее ИЛИ (XOR):
  • A ^ B
  • или A XOR B;
• импликация:
  • A -> B;
• эквиваленция:
  • A <-> B;
• скобки:
  • ( и ) для задания порядка вычислений.

Перед использованием конкретного калькулятора всегда посмотрите подсказку рядом с полем ввода, чтобы уточнить точный синтаксис.

Как пользоваться калькулятором таблицы истинности

Ниже приведена типичная пошаговая инструкция работы с таким инструментом.

Шаг 1. Введите логическое выражение

В поле ввода наберите выражение, например:

(!A & B) | C

Убедитесь, что:

• переменные обозначены допустимыми символами (A, B, C и т.п.);
• скобки расставлены правильно;
• операторы записаны в поддерживаемом формате (!, &, |, ^, ->, <-> и т.д.).

Шаг 2. Задайте список переменных (если нужно)

Некоторые калькуляторы:

• автоматически определяют переменные по тексту выражения;
• другие предлагают вам вручную выбрать или ввести список переменных и их порядок (например, A, B, C).

От порядка переменных зависит порядок столбцов и комбинаций в таблице, но итоговый смысл выражения не меняется.

Шаг 3. Нажмите кнопку расчёта

Обычно это кнопка вроде:

• «Построить таблицу истинности»,
• «Рассчитать»,
• «Показать таблицу».

Калькулятор:

1. определит все переменные;
2. сгенерирует все комбинации 0 и 1;
3. последовательно вычислит выражение для каждой строки;
4. выведет готовую таблицу.

Шаг 4. Анализируйте результат

Вы увидите таблицу вида:

По последнему столбцу вы можете:

• увидеть, при каких наборах переменных выражение истинно;
• проверить, правильно ли вы построили таблицу вручную;
• использовать результат для дальнейшего анализа (упрощения формулы, построения схемы и т.д.).

Пример: проверка выражения с помощью калькулятора

Возьмём выражение:

!(A & B) | C

1. Вводим выражение

В поле калькулятора пишем:

!(A & B) | C

Переменные: A, B, C.

2. Получаем таблицу истинности

После нажатия кнопки расчёта будет построена таблица:

Из таблицы видно:

• выражение ложно только в одной строке: когда A = 1, B = 1, C = 0;
• во всех остальных случаях значение — истина.

Типичные таблицы истинности для базовых операций

Для удобства соберём вместе таблицы истинности основных операций над двумя переменными A и B.

НЕ (отрицание)

И (конъюнкция)

ИЛИ (дизъюнкция)

Исключающее ИЛИ (XOR)

Импликация

Эквиваленция

Зная эти базовые таблицы, вы можете строить таблицы истинности для более сложных выражений, разбивая их на части.

Где применяется таблица истинности

Таблицы истинности активно используются:

• В школе:
  • в заданиях по математике и информатике;
  • в темах «Логические выражения», «Булева алгебра»;
  • в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.
• В программировании:
  • для анализа сложных условий if, while, &&, ||;
  • для проверки граничных случаев;
  • для поиска логических ошибок.
• В цифровой электронике:
  • при описании работы логических элементов (AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR и т.д.);
  • при проектировании цифровых схем и микросхем.
• В теоретической информатике и логике:
  • для доказательства тождеств и равносильности формул;
  • для упрощения булевых функций;
  • для построения нормальных форм (ДНФ, КНФ).

Частые ошибки при построении таблиц истинности

При самостоятельном построении таблиц истинности часто встречаются такие ошибки:

1. Неполный перебор комбинаций
   Пропускают одну или несколько строк (комбинаций переменных).
   Решение: используйте чёткий порядок (как бинарный счёт), особенно при большом числе переменных.

2. Смешение порядка переменных
   В одном месте порядок A, B, C, в другом — B, A, C.
   Решение: заранее зафиксируйте порядок переменных и придерживайтесь его везде.

3. Отсутствие или неправильная расстановка скобок
   Выражение вроде A & B | C может быть понято по‑разному (что раньше: & или |).
   Решение: всегда явно ставьте скобки: (A & B) | C или A & (B | C).

4. Неправильное понимание импликации
   Многие думают, что A → B ложно, если A ложно.
   На самом деле импликация ложна только когда A = 1 и B = 0.

5. Путаница между ИЛИ и исключающим ИЛИ
   В быту «или» часто понимается как «либо то, либо это», а в логике стандартное ИЛИ допускает оба одновременно.
   Если нужно именно «строгое» или, используйте XOR.

6. Отсутствие промежуточных столбцов
   Пытаются сразу считать итоговое выражение, не выделяя подвыражения.
   Решение: всегда добавляйте колонки для промежуточных результатов — так меньше ошибок и проще проверка.

Советы для учёбы и экзаменов

• Для 2–3 переменных сначала попробуйте построить таблицу вручную, а потом сверить результат с онлайн‑калькулятором.
• В задачах ЕГЭ и ОГЭ часто важен не сам расчёт, а умение анализировать таблицу:
  • находить строки, где выражение равно 1;
  • подбирать условия, при которых оно всегда ложно или всегда истинно.
• Тренируйтесь:
  • брать случайное выражение;
  • строить таблицу;
  • упрощать его;
  • проверять себя через калькулятор.

Итоги

Таблица истинности — простой и наглядный способ:

• понять поведение логического выражения;
• проверить правильность формул и условий;
• подготовиться к школьным и вузовским заданиям по логике и информатике.

Алгоритм построения один и тот же для любых выражений:

1. выписать переменные;
2. перебрать все комбинации 0 и 1;
3. последовательно посчитать подвыражения и итог.

Для небольших задач полезно делать это вручную — так лучше закрепляется материал. Для выражений с большим числом переменных и сложными операторами удобнее использовать онлайн‑калькулятор таблицы истинности на этой странице, а результат — разбирать и анализировать.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.