Сумма выражений

Как пользоваться калькулятором суммы выражений

1. Введите первое выражение в соответствующее поле (например, 3x + 5y - 2)
2. Введите второе выражение в следующее поле (например, x - 3y + 7)
3. При необходимости добавьте дополнительные выражения через кнопку “Добавить выражение”
4. Нажмите кнопку “Вычислить”
5. Получите результат — упрощенную сумму всех введенных выражений

Калькулятор автоматически:

• Приводит подобные слагаемые
• Упрощает коэффициенты
• Сортирует члены по убыванию степеней
• Показывает пошаговое решение

Методология вычисления суммы выражений

Основные правила сложения

При сложении математических выражений применяются следующие принципы:

1. Раскрытие скобок

Перед сложением необходимо раскрыть все скобки:

• Если перед скобкой стоит +, знаки внутри сохраняются
• Если перед скобкой стоит -, все знаки меняются на противоположные

Пример:

(2x + 3) + (5x - 4) = 2x + 3 + 5x - 4
3x - (2x - 5) = 3x - 2x + 5

2. Приведение подобных слагаемых

Подобные слагаемые — это члены выражения с одинаковыми переменными в одинаковых степенях. Их коэффициенты складываются.

Пример:

3x + 5x = 8x
2x² + 4x² = 6x²
7xy - 3xy = 4xy

3. Группировка по степеням

Результат записывается в стандартном виде — от высших степеней к низшим:

x³ + 2x² - 5x + 3

Пошаговый алгоритм

Шаг 1: Запишите все выражения для сложения

(3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 3) + (2x + 1)

Шаг 2: Раскройте скобки

3x² + 2x - 5 + x² - 4x + 3 + 2x + 1

Шаг 3: Сгруппируйте подобные слагаемые

(3x² + x²) + (2x - 4x + 2x) + (-5 + 3 + 1)

Шаг 4: Вычислите сумму в каждой группе

4x² + 0x - 1 = 4x² - 1

Результат: 4x² - 1

Примеры с решениями

Пример 1: Простые многочлены

Задача: (5a + 3b) + (2a - b)

Решение:
= 5a + 3b + 2a - b
= (5a + 2a) + (3b - b)
= 7a + 2b

Пример 2: С отрицательными коэффициентами

Задача: (4x² - 3x + 7) + (-2x² + 5x - 9)

Решение:
= 4x² - 3x + 7 - 2x² + 5x - 9
= (4x² - 2x²) + (-3x + 5x) + (7 - 9)
= 2x² + 2x - 2

Пример 3: Три выражения

Задача: (x³ + 2x) + (3x² - x) + (-x³ + x² + 5)

Решение:
= x³ + 2x + 3x² - x - x³ + x² + 5
= (x³ - x³) + (3x² + x²) + (2x - x) + 5
= 0 + 4x² + x + 5
= 4x² + x + 5

Пример 4: С дробными коэффициентами

Задача: (½x + ⅓) + (¼x - ⅔)

Решение:
= ½x + ⅓ + ¼x - ⅔
= (½x + ¼x) + (⅓ - ⅔)
= (²⁄₄x + ¼x) + (⅓ - ⅔)
= ¾x - ⅓

Работа с различными типами выражений

Многочлены

При сложении многочленов результат всегда будет многочленом степени, не превышающей максимальную степень исходных выражений.

Выражения с несколькими переменными

(2x + 3y - z) + (x - y + 4z) = 3x + 2y + 3z
(ab + 2a) + (3ab - a) = 4ab + a
(x²y + xy²) + (2x²y - xy²) = 3x²y

Выражения со степенями

При сложении важно помнить, что складываются только одинаковые степени:

✓ Правильно: x² + 2x² = 3x²
✗ Неправильно: x² + x³ ≠ x⁵ (не упрощается!)

Типичные ошибки при сложении выражений

Ошибка 1: Неправильное раскрытие скобок

❌ Неверно:

3x - (2x - 5) = 3x - 2x - 5 = x - 5

✅ Верно:

3x - (2x - 5) = 3x - 2x + 5 = x + 5

Ошибка 2: Сложение неподобных слагаемых

❌ Неверно:

x² + x³ = 2x⁵
2x + 3y = 5xy

✅ Верно:

x² + x³ остается x² + x³
2x + 3y остается 2x + 3y

Ошибка 3: Потеря знаков

❌ Неверно:

(5x - 3) + (2x - 4) = 7x - 1

✅ Верно:

(5x - 3) + (2x - 4) = 7x - 7

Ошибка 4: Неправильная работа с коэффициентами

❌ Неверно:

3x² + x² = 3x⁴

✅ Верно:

3x² + x² = 4x²

Применение суммы выражений

В математике

• Упрощение уравнений: преобразование сложных уравнений к более простому виду
• Решение систем: комбинирование уравнений для исключения переменных
• Доказательство тождеств: проверка равенства выражений
• Разложение на множители: подготовка выражений к факторизации

В физике

Сложение сил: F₁ + F₂ = (3N + 5N)x̂ + (2N - 4N)ŷ = 8Nx̂ - 2Nŷ
Суммарная энергия: E = Eₖ + Eₚ = (½mv²) + (mgh)

В экономике

Общие затраты: C = C₁ + C₂ = (100x + 50) + (75x + 30) = 175x + 80
Суммарная прибыль: P = P₁ + P₂ + P₃

В программировании

Сложение выражений используется в символьных вычислениях и компьютерной алгебре для оптимизации кода и упрощения формул.

Свойства сложения выражений

Коммутативность

Порядок слагаемых не влияет на результат:

(3x + 2) + (5x - 1) = (5x - 1) + (3x + 2) = 8x + 1

Ассоциативность

Группировка слагаемых не влияет на результат:

[(2x + 1) + (3x - 2)] + (x + 5) = (2x + 1) + [(3x - 2) + (x + 5)]

Нейтральный элемент

Ноль не изменяет выражение:

(3x² + 2x - 5) + 0 = 3x² + 2x - 5

Противоположные выражения

Сумма выражения и противоположного ему равна нулю:

(3x + 5) + (-3x - 5) = 0

Полезные советы

1. Всегда раскрывайте скобки первым шагом — это предотвратит ошибки со знаками
2. Выделяйте цветом подобные слагаемые при решении на бумаге для наглядности
3. Проверяйте результат подстановкой — выберите любое значение переменной и вычислите исходные выражения и результат
4. Записывайте промежуточные шаги — не пытайтесь выполнить все операции в уме
5. Используйте вертикальное выравнивание подобных слагаемых для удобства:

  3x² + 2x - 5
+ x² - 4x + 3
____________
  4x² - 2x - 2

Калькулятор суммы выражений обеспечивает точные вычисления, но для образовательных целей рекомендуется понимать логику операций и проверять результаты вручную.

Часто задаваемые вопросы