Сумма векторов

Как пользоваться калькулятором суммы векторов

1. Выберите размерность: 2D (плоскость) или 3D (пространство)
2. Введите координаты первого вектора: x, y (и z для 3D)
3. Введите координаты второго вектора: x, y (и z для 3D)
4. Добавьте дополнительные векторы при необходимости
5. Получите результат: координаты суммарного вектора и его длину

Калькулятор автоматически выполняет сложение всех компонентов и показывает итоговый вектор.

Методология расчета суммы векторов

Сложение векторов по координатам

Для сложения векторов используется координатный метод — самый простой и точный способ:

На плоскости (2D):

• Вектор a = (x₁, y₁)
• Вектор b = (x₂, y₂)
• Сумма c = a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

В пространстве (3D):

• Вектор a = (x₁, y₁, z₁)
• Вектор b = (x₂, y₂, z₂)
• Сумма c = a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)

Пример 1: Сложение векторов на плоскости

a = (3, 4)
b = (1, -2)

c = (3 + 1, 4 + (-2)) = (4, 2)

Пример 2: Сложение векторов в пространстве

a = (2, -1, 5)
b = (3, 4, -2)

c = (2 + 3, -1 + 4, 5 + (-2)) = (5, 3, 3)

Геометрические методы сложения

Правило треугольника

1. От произвольной точки откладывается первый вектор a
2. От конца вектора a откладывается вектор b
3. Сумма c — вектор от начала a до конца b

    B ----→ C
   ↗ b
  ↗
 ↗ a
A

Сумма: вектор AC

Правило параллелограмма

1. Оба вектора a и b откладываются от одной точки
2. Достраивается параллелограмм
3. Сумма c — диагональ параллелограмма из общего начала

    C
   /|
b / |
 /  | a
A---B
 \  /
  \/
   c (диагональ)

Сложение нескольких векторов

При сложении трех и более векторов складываются все соответствующие координаты:

a = (x₁, y₁, z₁)
b = (x₂, y₂, z₂)
c = (x₃, y₃, z₃)

Сумма = (x₁ + x₂ + x₃, y₁ + y₂ + y₃, z₁ + z₂ + z₃)

Пример:

a = (1, 2, 3)
b = (4, -1, 2)
c = (0, 3, -5)

Сумма = (1 + 4 + 0, 2 + (-1) + 3, 3 + 2 + (-5)) = (5, 4, 0)

Основные понятия

Вектор

Вектор — математический объект, характеризующийся величиной (длиной) и направлением. Обозначается буквой со стрелкой (ā) или жирным шрифтом (a).

Координаты вектора

Числовое представление вектора в системе координат:

• 2D: (x, y) — две координаты
• 3D: (x, y, z) — три координаты

Нулевой вектор

Вектор с нулевыми координатами: (0, 0) или (0, 0, 0). При сложении не изменяет другой вектор.

Длина (модуль) вектора

Расстояние от начала до конца вектора:

На плоскости: |a| = √(x² + y²)

В пространстве: |a| = √(x² + y² + z²)

Свойства сложения векторов

Практические примеры

Пример 1: Перемещение объекта

Робот сначала переместился на вектор a = (3, 5), затем на вектор b = (-1, 2). Найти итоговое перемещение.

Решение:

Итоговое перемещение = (3 + (-1), 5 + 2) = (2, 7)

Робот сместился на 2 единицы вправо и 7 вверх от начальной точки.

Пример 2: Сложение сил в физике

На тело действуют две силы:

• F₁ = (10, 0, 5) Н
• F₂ = (0, 8, -3) Н

Результирующая сила:

F = (10 + 0, 0 + 8, 5 + (-3)) = (10, 8, 2) Н

Пример 3: Навигация

Самолет летит с вектором скорости v = (500, 0) км/ч относительно воздуха. Ветер имеет скорость w = (-50, 100) км/ч. Найти скорость относительно земли.

Решение:

v_земля = (500 + (-50), 0 + 100) = (450, 100) км/ч

Фактическая скорость: √(450² + 100²) ≈ 461 км/ч

Типичные ошибки при сложении векторов

Ошибка 1: Сложение разных координат

❌ Неправильно:

a = (2, 3)
b = (1, 4)
c = (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4)  // перепутаны координаты

✅ Правильно:

c = (2 + 1, 3 + 4) = (3, 7)  // складываем соответствующие

Ошибка 2: Игнорирование знака

❌ Неправильно:

a = (5, -3)
b = (2, 7)
c = (7, 10)  // забыли про минус

✅ Правильно:

c = (5 + 2, -3 + 7) = (7, 4)

Ошибка 3: Путаница с длиной вектора

Длина суммы векторов НЕ равна сумме длин:

|a + b| ≠ |a| + |b|

Пример:

a = (3, 0), |a| = 3
b = (0, 4), |b| = 4

a + b = (3, 4), |a + b| = 5

5 ≠ 3 + 4 = 7

Расширенные возможности

Вычитание векторов

Вычитание — это сложение с противоположным вектором:

a - b = a + (-b)

a = (5, 3)
b = (2, 1)

a - b = (5 - 2, 3 - 1) = (3, 2)

Сложение коллинеарных векторов

Если векторы лежат на одной прямой (коллинеарны), их сумма также коллинеарна:

a = (2, 4)
b = (3, 6)  // b = 1.5 × a

a + b = (5, 10)  // также коллинеарен

Сумма противоположных векторов

Противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположное направление:

a = (3, -2, 5)
-a = (-3, 2, -5)

a + (-a) = (0, 0, 0) = нулевой вектор

Применение в разных областях

Советы по работе с векторами

1. Всегда проверяйте размерность — нельзя складывать 2D и 3D векторы напрямую
2. Используйте координатный метод для точных вычислений
3. Визуализируйте геометрически для понимания результата
4. Проверяйте знаки координат — частый источник ошибок
5. Группируйте векторы для упрощения сложных вычислений
6. Помните о свойствах — используйте коммутативность и ассоциативность

Калькулятор предоставляет точные математические расчеты. Для специализированных инженерных задач рекомендуется дополнительная проверка результатов.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.