Сумма углов выпуклого многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника — это одно из фундаментальных свойств в геометрии, которое зависит только от количества его сторон. Независимо от того, правильный ли многоугольник или нет, эта сумма всегда постоянна и легко вычисляется по простой формуле.

Как пользоваться калькулятором?

Наш онлайн-калькулятор поможет мгновенно найти сумму внутренних углов для любого выпуклого многоугольника.

Введите количество сторон (n): В поле ввода укажите, сколько сторон имеет ваш многоугольник (например, 5 для пятиугольника, 6 для шестиугольника).
Нажмите «Рассчитать»: Калькулятор автоматически применит нужную формулу.
Получите результат: Вы увидите точное значение суммы всех внутренних углов в градусах.

Формула и метод расчета

Понимание логики behind расчета поможет вам не просто пользоваться калькулятором, а действительно усвоить материал.

Основная формула

Для нахождения суммы внутренних углов любого выпуклого n-угольника используется следующая формула:

S = (n - 2) * 180°

Где:

S — искомая сумма всех внутренних углов.
n — количество сторон (а также и углов) многоугольника.

Почему формула работает? (Метод триангуляции)

Суть формулы кроется в том, что любой выпуклый многоугольник можно разделить на несколько треугольников. Если выбрать одну вершину и провести из нее диагонали во все остальные несмежные вершины, мы разобьем фигуру на треугольники.

Количество таких треугольников всегда будет на два меньше, чем количество сторон многоугольника, то есть (n - 2).

Поскольку сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, то общая сумма углов всего многоугольника будет:

(Количество треугольников) * (Сумма углов в одном треугольнике) = (n - 2) * 180°

Например, в пятиугольнике (n=5) из одной вершины можно провести 2 диагонали, которые разделят его на 3 треугольника (5 - 2 = 3). Сумма углов пятиугольника: 3 * 180° = 540°.

Примеры расчетов

Ниже приведены примеры для самых распространенных фигур.

Фигура	Количество сторон (n)	Расчет	Результат (сумма углов)
Треугольник	3	(3 - 2) * 180°	180°
Четырехугольник	4	(4 - 2) * 180°	360°
Пятиугольник	5	(5 - 2) * 180°	540°
Шестиугольник	6	(6 - 2) * 180°	720°
Восьмиугольник	8	(8 - 2) * 180°	1080°
Десятиугольник	10	(10 - 2) * 180°	1440°

Важные понятия

Выпуклый многоугольник

Это многоугольник, у которого все его вершины лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через его сторону. Проще говоря, у него нет «вогнутостей» или «вмятин», и все его внутренние углы строго меньше 180°. Именно для таких фигур применима данная формула.

Внутренний угол

Это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника, лежащий внутри фигуры. Формула рассчитывает сумму именно внутренних углов.

Полезные советы и частые ошибки

Совет: Помните, что у многоугольника количество сторон всегда равно количеству углов. Поэтому, если вы знаете число сторон, вы знаете и n.
Ошибка 1: Забыть вычесть 2. Самая распространенная оплошность — использовать формулу n * 180°. Это неверно. Всегда вычитайте 2 из количества сторон.
Ошибка 2: Применение к невыпуклым многоугольникам. Формула (n - 2) * 180° работает только для выпуклых фигур. Для звездчатых или вогнутых многоугольников расчет суммы углов сложнее.

Отказ от ответственности: Данный калькулятор предназначен для образовательных целей. Все вычисления производятся на основе стандартных геометрических формул.

Часто задаваемые вопросы

Как найти сумму углов выпуклого многоугольника?

Используйте простую формулу S = (n - 2) * 180°, где S — это сумма всех внутренних углов, а n — количество сторон (или углов) многоугольника. Просто подставьте число сторон в формулу и произведите вычисление.

Почему формула суммы углов работает именно так?

Формула основана на методе триангуляции. Любой выпуклый многоугольник можно разбить на (n - 2) треугольников, проведя диагонали из одной вершины. Поскольку сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, общая сумма углов многоугольника будет (n - 2) * 180°.

Чему равна сумма углов треугольника или квадрата?

Для треугольника (n=3) сумма углов: (3 - 2) * 180° = 180°. Для квадрата (n=4) сумма углов: (4 - 2) * 180° = 360°. Формула универсальна для любого выпуклого многоугольника.

В чем разница между выпуклым и невыпуклым многоугольником?

У выпуклого многоугольника все его внутренние углы меньше 180°, и он не имеет «вогнутостей». Если провести прямую через любую его сторону, весь многоугольник окажется по одну сторону от этой прямой. Данная формула применима именно к выпуклым многоугольникам.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.

Найти сумму углов

Задача “найдите сумму углов” — одна из фундаментальных в геометрии. Ответ на нее зависит от того, о какой фигуре идет речь: треугольнике, …

Перейти к калькулятору