Обновлено:

Сумма углов трапеции

Трапеция — один из наиболее распространенных четырехугольников в геометрии, с которым мы встречаемся и в школьных задачах, и в практических расчетах. Знание того, чему равна сумма углов трапеции и как связаны между собой отдельные углы этой фигуры, помогает быстро решать задачи и понимать геометрические закономерности.

Выберите тип трапеции
Введите известные углы (в градусах)Введите от 1 до 3 углов. Оставьте поле пустым, если угол неизвестен.

Основное правило: сумма углов любой трапеции

Сумма всех четырех углов трапеции всегда равна 360°.

Это свойство справедливо для любого четырехугольника, в том числе и для трапеции. Формула выводится из общего правила для выпуклых многоугольников:

S = 180° × (n - 2)

где n — количество углов (или сторон) многоугольника.

Для четырехугольника (n = 4):

Специфические свойства углов трапеции

Сумма односторонних углов

Трапеция имеет особое свойство, отличающее её от произвольного четырехугольника: два основания параллельны.

Из этого следует важное правило:

Сумма углов при одной боковой стороне трапеции равна 180°

Это объясняется тем, что боковая сторона служит секущей для двух параллельных прямых (оснований), образуя односторонние углы, сумма которых всегда составляет 180°.

ОбозначениеФормула
Углы при левой боковой сторонеα + β = 180°
Углы при правой боковой сторонеγ + δ = 180°

Практическое применение

Если известен один угол при боковой стороне, второй угол легко вычисляется:

Виды трапеций и особенности их углов

Равнобедренная (равнобокая) трапеция

Свойства углов:

Пример расчета: Если в равнобедренной трапеции угол при основании равен 70°, то:

Прямоугольная трапеция

Свойства углов:

Пример: Если один непрямой угол равен 125°, то второй непрямой угол:

Произвольная трапеция

В общем случае углы могут быть любыми при соблюдении двух условий:

  1. Сумма всех углов = 360°
  2. Сумма углов при каждой боковой стороне = 180°

Как найти неизвестный угол трапеции

Метод 1: Через сумму всех углов

Если известны три угла, четвертый находится вычитанием:

Угол₄ = 360° - Угол₁ - Угол₂ - Угол₃

Пример: Известны углы: 80°, 100°, 95°

Метод 2: Через односторонние углы

Если известен угол при одной стороне, смежный с ним вычисляется:

Угол₂ = 180° - Угол₁

Пример: Угол при нижнем основании равен 115°

Метод 3: Для равнобедренной трапеции

Зная один угол при основании, можно найти все остальные:

  1. Второй угол при том же основании равен известному
  2. Углы при другом основании: (360° - 2×известный_угол) / 2

Пример: Угол при основании = 60°

Таблица распространенных случаев

Тип трапецииИзвестные данныеУглы
РавнобедреннаяУгол при основании 45°45°, 45°, 135°, 135°
РавнобедреннаяУгол при основании 60°60°, 60°, 120°, 120°
ПрямоугольнаяОстрый угол 50°90°, 90°, 50°, 130°
ПрямоугольнаяОстрый угол 35°90°, 90°, 35°, 145°
ПроизвольнаяТри угла: 70°, 110°, 80°70°, 110°, 80°, 100°

Типичные ошибки при расчетах

Ошибка 1: Неправильное применение свойства односторонних углов

❌ Неверно: Считать, что любые два угла трапеции в сумме дают 180°

✅ Верно: Только углы при одной боковой стороне в сумме равны 180°

Ошибка 2: Путаница в равнобедренной трапеции

❌ Неверно: Считать, что все углы равнобедренной трапеции равны

✅ Верно: Равны только углы при каждом отдельном основании

Ошибка 3: Забывание общего правила

❌ Неверно: При проверке не контролировать сумму всех углов

✅ Верно: Всегда проверяйте, что сумма четырех углов равна 360°

Практические задачи

Задача 1

В трапеции один угол равен 50°, а противолежащий ему угол — 130°. Найдите два других угла.

Решение:

Ответ: 50° и 130°

Задача 2

В равнобедренной трапеции угол при меньшем основании равен 105°. Найдите все углы.

Решение:

Ответ: 75°, 105°, 105°, 75°

Применение в реальной жизни

Знание свойств углов трапеции используется:

Понимание того, как связаны углы трапеции, существенно упрощает решение геометрических задач и помогает в практических расчетах. Помните два главных правила: сумма всех углов равна 360°, а сумма углов при одной боковой стороне — 180°.

Часто задаваемые вопросы

Чему равна сумма углов трапеции?

Сумма всех углов трапеции равна 360°, как и у любого четырехугольника. Это следует из общей формулы суммы углов выпуклого многоугольника.

Чему равна сумма углов при одной боковой стороне трапеции?

Сумма углов при одной боковой стороне трапеции равна 180°. Это объясняется тем, что боковая сторона является секущей для параллельных оснований, и образует с ними односторонние углы.

Как найти неизвестный угол трапеции?

Если известны три угла трапеции, четвертый находится вычитанием их суммы из 360°. Также можно использовать свойство односторонних углов: если известен один угол при боковой стороне, смежный с ним равен 180° минус известный угол.

Какие углы равны в равнобедренной трапеции?

В равнобедренной (равнобокой) трапеции углы при каждом основании равны между собой. То есть углы при нижнем основании равны, и углы при верхнем основании также равны.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.