Сумма углов многоугольника

Как пользоваться калькулятором

1. Введите количество сторон многоугольника (от 3 и более)
2. Выберите тип углов: внутренние или внешние
3. Нажмите кнопку расчета — результат появится мгновенно
4. Проверьте дополнительную информацию: название фигуры, величину одного угла (для правильного многоугольника)

Калькулятор автоматически определяет название фигуры (треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д.) и показывает все необходимые параметры.

Формулы расчета суммы углов

Сумма внутренних углов

Для любого выпуклого многоугольника с n сторонами:

S = (n - 2) × 180°

Где:

• S — сумма внутренних углов
• n — количество сторон многоугольника
• 180° — сумма углов треугольника

Примеры:

• Треугольник (n=3): (3-2) × 180° = 180°
• Четырехугольник (n=4): (4-2) × 180° = 360°
• Пятиугольник (n=5): (5-2) × 180° = 540°
• Шестиугольник (n=6): (6-2) × 180° = 720°
• Восьмиугольник (n=8): (8-2) × 180° = 1080°

Сумма внешних углов

Для любого выпуклого многоугольника:

S = 360°

Это универсальное свойство: сумма внешних углов всегда равна 360° независимо от количества сторон.

Один угол правильного многоугольника

Если все стороны и углы равны (правильный многоугольник):

α = (n - 2) × 180° / n

Примеры:

• Равносторонний треугольник: 180° / 3 = 60°
• Квадрат: 360° / 4 = 90°
• Правильный пятиугольник: 540° / 5 = 108°
• Правильный шестиугольник: 720° / 6 = 120°

Таблица сумм углов распространенных фигур

Откуда берется формула

Метод триангуляции

Любой многоугольник можно разбить на треугольники, проводя диагонали из одной вершины:

1. Треугольник (3 стороны) = 1 треугольник → 180°
2. Четырехугольник (4 стороны) = 2 треугольника → 2 × 180° = 360°
3. Пятиугольник (5 сторон) = 3 треугольника → 3 × 180° = 540°

Закономерность: из вершины n-угольника можно провести (n - 2) треугольника.

Доказательство для внешних углов

Внешний угол — это угол между продолжением одной стороны и смежной стороной. При обходе многоугольника по периметру мы совершаем полный оборот на 360°, что и составляет сумму всех внешних углов.

Ключевые понятия

Многоугольник — замкнутая плоская фигура, образованная соединением трех или более отрезков (сторон).

Внутренний угол — угол между двумя смежными сторонами многоугольника, измеренный внутри фигуры.

Внешний угол — угол, смежный с внутренним углом. Внешний угол = 180° - внутренний угол.

Выпуклый многоугольник — все внутренние углы меньше 180°, все диагонали лежат внутри фигуры.

Правильный многоугольник — все стороны равны, все углы равны.

Вершина — точка пересечения двух сторон многоугольника.

Диагональ — отрезок, соединяющий две несмежные вершины.

Практическое применение

В строительстве и архитектуре

• Расчет углов при проектировании многоугольных помещений
• Проверка правильности геодезической разметки участков
• Планирование беседок, террас, бассейнов нестандартной формы
• Контроль углов при укладке плитки с геометрическими узорами

В образовании

• Решение геометрических задач в школе и вузе
• Проверка домашних заданий
• Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике
• Изучение свойств многоугольников

В дизайне и графике

• Создание правильных многоугольников в графических редакторах
• Проектирование логотипов с геометрическими элементами
• Разработка паттернов и орнаментов
• 3D-моделирование

Типичные ошибки при расчетах

Ошибка 1: Путаница между внутренними и внешними углами

• Решение: помните, что внутренний + внешний угол = 180°

Ошибка 2: Неправильный подсчет количества сторон

• Решение: внимательно пересчитайте все стороны, включая основание

Ошибка 3: Применение формулы к невыпуклым многоугольникам

• Решение: формула работает только для выпуклых фигур

Ошибка 4: Округление промежуточных результатов

• Решение: округляйте только финальный ответ

Ошибка 5: Забывают про скобки в формуле

• Решение: сначала вычитайте (n - 2), затем умножайте на 180°

Частные случаи

Треугольники

Сумма углов всегда 180° независимо от типа:

• Остроугольный (все углы < 90°)
• Прямоугольный (один угол = 90°)
• Тупоугольный (один угол > 90°)

Четырехугольники

Сумма углов всегда 360° для всех видов:

• Квадрат, прямоугольник (4 × 90° = 360°)
• Параллелограмм, ромб, трапеция
• Неправильные четырехугольники

Правильные многоугольники в природе

• Шестиугольник (120°) — пчелиные соты
• Пятиугольник (108°) — морские звезды
• Восьмиугольник (135°) — некоторые минералы

Связь с другими геометрическими свойствами

Количество диагоналей

Для n-угольника: d = n(n - 3) / 2

Периметр правильного многоугольника

Если известна длина стороны a: P = n × a

Площадь правильного многоугольника

Через радиус вписанной окружности r: S = n × r² × tan(180°/n)

Примечание: калькулятор предназначен для выпуклых многоугольников. Для невыпуклых (вогнутых) фигур формулы требуют модификации с учетом углов больше 180°.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.