Сумма произведений

Как пользоваться калькулятором

1. Введите первый массив: укажите элементы первой последовательности через запятую или пробел
2. Введите второй массив: аналогично введите элементы второй последовательности
3. Нажмите “Рассчитать”: калькулятор автоматически выполнит вычисление
4. Получите результат: отобразится итоговая сумма произведений и промежуточные вычисления

Калькулятор поддерживает целые и дробные числа, отрицательные значения. Массивы должны иметь одинаковую длину для корректного расчета.

Формула суммы произведений

Общая формула суммы произведений двух последовательностей:

S = Σ(aᵢ × bᵢ) = a₁×b₁ + a₂×b₂ + a₃×b₃ + … + aₙ×bₙ

Где:

• S — итоговая сумма произведений
• aᵢ — элементы первого массива
• bᵢ — элементы второго массива
• n — количество элементов в каждом массиве
• Σ — знак суммирования

Пример расчета

Дано два массива: A = [2, 4, 6] и B = [1, 3, 5]

Пошаговое вычисление:

Итоговая сумма произведений: 44

Методы вычисления

Прямой метод

Самый простой способ — последовательно перемножить каждую пару элементов и сложить результаты:

A = [3, 5, 7, 9]
B = [2, 4, 6, 8]

S = 3×2 + 5×4 + 7×6 + 9×8
S = 6 + 20 + 42 + 72
S = 140

Векторный метод

В линейной алгебре сумма произведений соответствует скалярному произведению векторов:

A · B = |A| × |B| × cos(θ)

Где θ — угол между векторами. Для вычислений в координатах используется прямой метод.

Матричный метод

Сумма произведений может быть представлена как произведение матриц:

S = A^T × B

Где A^T — транспонированный вектор A, результат — скаляр.

Практические примеры

Статистика: взвешенное среднее

Цены товаров: [100, 200, 150] руб. Количество продаж: [5, 3, 8] шт.

Общая выручка:

S = 100×5 + 200×3 + 150×8
S = 500 + 600 + 1200 = 2300 руб.

Физика: работа силы

Сила на участках пути: [10, 15, 20] Н Длины участков: [2, 3, 4] м

Полная работа:

A = 10×2 + 15×3 + 20×4
A = 20 + 45 + 80 = 145 Дж

Экономика: индекс цен

Базовые цены: [50, 80, 120] Весовые коэффициенты: [0.3, 0.5, 0.2]

Взвешенный индекс:

I = 50×0.3 + 80×0.5 + 120×0.2
I = 15 + 40 + 24 = 79

Связь с другими понятиями

Скалярное произведение

Сумма произведений элементов двух векторов — это скалярное произведение:

• Коммутативность: A · B = B · A
• Дистрибутивность: A · (B + C) = A · B + A · C
• Если S = 0, векторы перпендикулярны

Ковариация

В статистике сумма произведений отклонений используется для расчета ковариации:

Cov(X,Y) = Σ[(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)] / n

Корреляция

Коэффициент корреляции Пирсона основан на сумме произведений нормализованных значений.

Типичные ошибки

Применение в программировании

Python

def sum_of_products(a, b):
    return sum(x * y for x, y in zip(a, b))

# Пример
A = [2, 4, 6]
B = [1, 3, 5]
result = sum_of_products(A, B)  # 44

NumPy

import numpy as np

A = np.array([2, 4, 6])
B = np.array([1, 3, 5])
result = np.dot(A, B)  # 44

Excel

Формула в ячейке:

=СУММПРОИЗВ(A1:A3; B1:B3)

Расширенные применения

Машинное обучение

Сумма произведений — основа работы нейронных сетей:

y = Σ(wᵢ × xᵢ) + b

Где wᵢ — веса, xᵢ — входные данные, b — смещение.

Обработка сигналов

Свертка сигналов использует сумму произведений:

(f ∗ g)[n] = Σ f[m] × g[n-m]

Временные ряды

Расчет скользящего среднего с весами:

MA = Σ(wᵢ × yₜ₋ᵢ)

Особые случаи

Все элементы равны нулю

Если хотя бы один массив состоит из нулей, результат всегда 0.

Единичные векторы

Для единичных векторов сумма произведений равна косинусу угла между ними.

Отрицательный результат

Отрицательная сумма указывает на обратную связь между массивами (противоположную направленность).

Примечание: калькулятор предназначен для образовательных и практических целей. Для критически важных расчетов рекомендуется дополнительная проверка результатов.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.