Сумма прогрессии

Как пользоваться калькулятором

Чтобы получить точный результат, следуйте простой инструкции:

1. Выберите тип прогрессии: отметьте “Арифметическая” или “Геометрическая”.
2. Введите первый член (a₁ или b₁): это начальное число вашей последовательности.
3. Введите разность (d) или знаменатель (q):
   • Для арифметической прогрессии укажите постоянную разницу между членами.
   • Для геометрической — число, на которое умножается каждый член.
4. Укажите количество членов (n): введите, сколько слагаемых нужно просуммировать.
5. Нажмите “Рассчитать”: калькулятор мгновенно покажет сумму и промежуточные вычисления.

Методология и формулы расчета

Понимание формул поможет вам проверить результат или решить задачу вручную.

Сумма арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью d.

Формула суммы n первых членов (Sₙ):

Sₙ = (2a₁ + d(n - 1)) * n / 2

Где:

• a₁ — первый член прогрессии.
• d — разность прогрессии.
• n — количество членов.

Пример: Найдём сумму первых 5 членов прогрессии: 3, 7, 11, 15, 19. Здесь a₁ = 3, d = 4 (7-3), n = 5. S₅ = (2 _ 3 + 4 _ (5 - 1)) _ 5 / 2 = (6 + 16) _ 5 / 2 = 22 * 5 / 2 = 55. Проверка: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55.

Сумма геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем q.

Формула суммы n первых членов (Sₙ):

Sₙ = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (при q ≠ 1)

Где:

• b₁ — первый член прогрессии.
• q — знаменатель прогрессии.
• n — количество членов.

Пример: Найдём сумму первых 4 членов прогрессии: 2, 6, 18, 54. Здесь b₁ = 2, q = 3 (6/2), n = 4. S₄ = 2 _ (1 - 3⁴) / (1 - 3) = 2 _ (1 - 81) / (-2) = 2 * (-80) / (-2) = 80. Проверка: 2 + 6 + 18 + 54 = 80.

Ключевые понятия

• Первый член (a₁, b₁): Стартовый элемент последовательности.
• Разность (d): Постоянное число, которое прибавляется к каждому члену арифметической прогрессии.
• Знаменатель (q): Постоянное число, на которое умножается каждый член геометрической прогрессии.
• Количество членов (n): Общее число слагаемых в сумме.

Советы и типичные ошибки

1. Не перепутайте тип прогрессии. Самая частая ошибка — пытаться найти сумму арифметической прогрессии по формуле для геометрической, и наоборот. Всегда сначала определите, как меняются члены: прибавлением или умножением.
2. Проверьте знаменатель q. Если q = 1, то все члены геометрической прогрессии равны первому члену, и сумма равна b₁ * n. Формула с делением на (1 - q) в этом случае не работает.
3. Бесконечная сумма. Если вам нужно найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии (когда |q| < 1), используется формула S = b₁ / (1 - q). Наш калькулятор не рассчитывает такой случай, но знать эту формулу полезно.

Важно: Данный калькулятор предназначен для образовательных и быстрых расчётов. Для решения сложных академических или инженерных задач рекомендуется перепроверять результаты вручную или использовать специализированное ПО.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.