Сумма последовательности

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите тип последовательности: арифметическая или геометрическая прогрессия
2. Введите параметры:
   • Для арифметической: первый член (a₁), разность (d), количество членов (n)
   • Для геометрической: первый член (a₁), знаменатель (q), количество членов (n)
3. Нажмите “Рассчитать” — получите результат мгновенно
4. Если нужна десятичная точность, отрегулируйте количество знаков после запятой

Калькулятор поддерживает как целые числа, так и дроби, отрицательные значения и очень большие последовательности.

Методология расчета

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность, где каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число (разность d).

Формула суммы:

S = (a₁ + aₙ) × n / 2

или, если неизвестен последний член:

S = n × a₁ + d × n × (n - 1) / 2

Пример 1: найти сумму первых 10 членов прогрессии 2, 5, 8, 11…

• a₁ = 2 (первый член)
• d = 3 (разность: 5 - 2 = 3)
• n = 10 (количество членов)
• a₁₀ = 2 + 3 × (10 - 1) = 2 + 27 = 29

S = (2 + 29) × 10 / 2 = 31 × 5 = 155

Пример 2: сумма чисел от 1 до 100

• a₁ = 1, d = 1, n = 100
• S = (1 + 100) × 100 / 2 = 101 × 50 = 5050

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность, где каждый член в q раз больше предыдущего (q — знаменатель прогрессии).

Формула суммы:

S = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1)   при q ≠ 1
S = a₁ × n                     при q = 1

Пример 1: найти сумму 5 членов прогрессии 2, 6, 18, 54…

• a₁ = 2 (первый член)
• q = 3 (знаменатель: 6 / 2 = 3)
• n = 5 (количество членов)

S = 2 × (3⁵ - 1) / (3 - 1) = 2 × (243 - 1) / 2 = 2 × 242 / 2 = 242

Пример 2: сумма прогрессии 1, 0.5, 0.25, 0.125… (10 членов)

• a₁ = 1
• q = 0.5
• n = 10

S = 1 × (0.5¹⁰ - 1) / (0.5 - 1) = (0.00098 - 1) / (-0.5) ≈ 1.998

Ключевые термины

Типичные ошибки при расчетах

❌ Забывают, что формулы разные для арифметической и геометрической прогрессии — нельзя подставлять разность в формулу геометрической.

❌ Путают знаменатель с разностью — q — это отношение (деление), d — это разница (вычитание).

❌ Считают неправильное количество членов — если нужны числа от 1 до 10, то n = 10, а не 9.

❌ Вводят отрицательное q без проверки — при |q| > 1 геометрическая прогрессия растёт бесконечно, сумма не сходится.

❌ Округляют промежуточные результаты — это приводит к ошибкам в финальном ответе; лучше оставить точные значения.

Практические применения

Финансы: расчет итоговой суммы пополняемого счета с постоянным ежемесячным пополнением (арифметическая прогрессия).

Физика: вычисление пути при равноускоренном движении, где расстояния образуют арифметическую прогрессию.

IT: анализ сложности алгоритмов часто требует расчета сумм рядов.

Демография: прогноз роста населения при геометрическом росте на n лет.

Медицина: расчет накопления вещества в организме при регулярном приеме препарата (геометрическая прогрессия).

Когда использовать калькулятор

✓ При работе с большим количеством членов (от 50 и выше)
✓ Для проверки ручных расчетов
✓ Когда нужна высокая точность (много знаков после запятой)
✓ При решении задач с нецелыми числами и дробями
✓ Для быстрого сравнения разных вариантов последовательностей

Дисклеймер: Калькулятор предназначен для общеобразовательных целей. Для профессиональных расчетов с критическими параметрами рекомендуем проверять результаты через несколько независимых источников.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.