Сумма первых трех членов прогрессии

Расчет суммы первых трех членов — одна из базовых задач в алгебре, часто встречающаяся как в школьном курсе математики, так и в практических расчетах. Чтобы получить правильный результат, нужно понять, с какой прогрессией вы работаете — арифметической или геометрической, и применить соответствующую формулу.

Обновлено:

Содержание статьи
Выберите тип прогрессии
Параметры прогрессии Введите первое число последовательности Для арифметической: разность между соседними членами. Для геометрической: множитель

Что такое сумма первых трех членов

Сумма первых трех членов — это результат сложения трех последовательных элементов числовой прогрессии. Обозначается как S₃.

Когда это может потребоваться:

Арифметическая прогрессия

Что это

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член на одно и то же число больше или меньше предыдущего. Это число называется разностью (d).

Пример: 2, 5, 8, 11… (разность d = 3)

Формула суммы первых трех членов

$$S_3 = a_1 + a_2 + a_3$$

Где:

Упрощенная формула:

$$S_3 = 3a_1 + 3d$$

Или альтернативно:

$$S_3 = \frac{3(a_1 + a_3)}{2}$$

Пример расчета

Дана прогрессия: 4, 7, 10…

S₃ = 4 + 7 + 10 = 21

Или по формуле: S₃ = 3×4 + 3×3 = 12 + 9 = 21 ✓

Геометрическая прогрессия

Что это

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается путем умножения предыдущего на одно и то же число — знаменатель прогрессии (q).

Пример: 2, 6, 18, 54… (знаменатель q = 3)

Формула суммы первых трех членов

$$S_3 = b_1 + b_2 + b_3$$

Где:

Универсальная формула:

$$S_3 = b_1 \times \frac{1 - q^3}{1 - q}$$

(при q ≠ 1)

При q = 1:

$$S_3 = 3b_1$$

Пример расчета

Дана прогрессия: 2, 6, 18…

S₃ = 2 + 6 + 18 = 26

Или по формуле: S₃ = 2 × (1 - 3³)/(1 - 3) = 2 × (-26)/(-2) = 26 ✓

Как пользоваться калькулятором

  1. Выберите тип прогрессии — арифметическая или геометрическая
  2. Введите первый член (a₁ или b₁)
  3. Укажите разность (d) или знаменатель (q)
  4. Нажмите “Рассчитать”
  5. Получите результат с пошаговым решением

Таблица сравнения

ПараметрАрифметическаяГеометрическая
Закон измененияСложение на dУмножение на q
Формула членаaₙ = a₁ + (n-1)dbₙ = b₁ × q^(n-1)
Формула S₃3a₁ + 3db₁(1-q³)/(1-q)
Пример3, 6, 9, 12…3, 6, 12, 24…

Типичные ошибки

✗ Забывают формулу разности/знаменателя

✗ Путают типы прогрессий

✗ Ошибки при подстановке в формулу

✗ Забывают про q = 1 в геометрической прогрессии

Практические примеры

Пример 1: Накопление на счете

Вы положили 1000 рублей. Каждый месяц добавляете еще 500 рублей. Сумма за первые три месяца?

Пример 2: Геометрический рост

Бактерии удваиваются каждый час. Начальное количество — 100. Сколько бактерий за первые три часа?

Пример 3: Отрицательная прогрессия

Температура падает на 2° каждый день. Первый день —10°. Какова сумма температур за три дня?

Полезные советы

✓ Всегда проверяйте тип прогрессии перед расчетом

✓ Убедитесь в правильности d или q — это основа расчета

✓ Используйте калькулятор для больших чисел — вероятность ошибки выше

✓ Запишите три члена явно перед суммированием — так проще проверить

✓ Применяйте формулы только если вы уверены в их правильности

Дисклеймер: калькулятор предназначен для образовательных целей и решения стандартных задач. При использовании в профессиональных расчетах проверьте результаты дополнительно.

Часто задаваемые вопросы

Как найти сумму первых трех членов арифметической прогрессии?

Нужно знать первый член (a₁) и разность (d). Используй формулу S₃ = 3a₁ + 3d или просто сложи три члена: a₁ + a₂ + a₃, где a₂ = a₁ + d и a₃ = a₁ + 2d.

Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?

В арифметической прогрессии каждый следующий член отличается на одну и ту же разность (d). В геометрической — каждый следующий член получается умножением на одно и то же число (знаменатель q).

Какая формула для суммы первых трех членов геометрической прогрессии?

S₃ = b₁ + b₂ + b₃ или S₃ = b₁(1 - q³)/(1 - q), где b₁ — первый член, q — знаменатель прогрессии.

Может ли сумма первых трех членов быть отрицательной?

Да, если члены прогрессии отрицательные или их сумма дает отрицательное значение. Например, в прогрессии -5, -3, -1 сумма равна -9.

Где применяется расчет суммы прогрессии?

В финансовых расчетах (сложные проценты), физике, экономике, статистике и при решении задач на теорию чисел.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.