Сумма первых трех

Что такое сумма первых трех членов

Сумма первых трех членов — это результат сложения трех последовательных элементов числовой прогрессии. Обозначается как S₃.

Когда это может потребоваться:

• Школьные и вузовские задачи по алгебре
• Финансовые расчеты (накопление вкладов, погашение кредитов)
• Инженерные и физические расчеты
• Анализ данных и статистика

Арифметическая прогрессия

Что это

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член на одно и то же число больше или меньше предыдущего. Это число называется разностью (d).

Пример: 2, 5, 8, 11… (разность d = 3)

Формула суммы первых трех членов

$$S_3 = a_1 + a_2 + a_3$$

Где:

• a₁ — первый член
• a₂ = a₁ + d
• a₃ = a₁ + 2d

Упрощенная формула:

$$S_3 = 3a_1 + 3d$$

Или альтернативно:

$$S_3 = \frac{3(a_1 + a_3)}{2}$$

Пример расчета

Дана прогрессия: 4, 7, 10…

• a₁ = 4
• d = 3
• a₂ = 4 + 3 = 7
• a₃ = 4 + 2×3 = 10

S₃ = 4 + 7 + 10 = 21

Или по формуле: S₃ = 3×4 + 3×3 = 12 + 9 = 21 ✓

Геометрическая прогрессия

Что это

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается путем умножения предыдущего на одно и то же число — знаменатель прогрессии (q).

Пример: 2, 6, 18, 54… (знаменатель q = 3)

Формула суммы первых трех членов

$$S_3 = b_1 + b_2 + b_3$$

Где:

• b₁ — первый член
• b₂ = b₁ × q
• b₃ = b₁ × q²

Универсальная формула:

$$S_3 = b_1 \times \frac{1 - q^3}{1 - q}$$ (при q ≠ 1)

При q = 1:

$$S_3 = 3b_1$$

Пример расчета

Дана прогрессия: 2, 6, 18…

• b₁ = 2
• q = 3
• b₂ = 2 × 3 = 6
• b₃ = 2 × 3² = 18

S₃ = 2 + 6 + 18 = 26

Или по формуле: S₃ = 2 × (1 - 3³)/(1 - 3) = 2 × (-26)/(-2) = 26 ✓

Как пользоваться калькулятором

1. Выберите тип прогрессии — арифметическая или геометрическая
2. Введите первый член (a₁ или b₁)
3. Укажите разность (d) или знаменатель (q)
4. Нажмите “Рассчитать”
5. Получите результат с пошаговым решением

Таблица сравнения

Типичные ошибки

❌ Забывают формулу разности/знаменателя

• Помните: в арифметике это d = a₂ - a₁, в геометрике это q = b₂/b₁

❌ Путают типы прогрессий

• Проверьте: в одной складывают/вычитают, в другой умножают/делят

❌ Ошибки при подстановке в формулу

• Проверяйте дважды: что вы подставляете на место переменных

❌ Забывают про q = 1 в геометрической прогрессии

• Это особый случай: формула становится S₃ = 3b₁

Практические примеры

Пример 1: Накопление на счете

Вы положили 1000 рублей. Каждый месяц добавляете еще 500 рублей. Сумма за первые три месяца?

• a₁ = 1000, d = 500
• S₃ = 1000 + 1500 + 2000 = 4500 рублей

Пример 2: Геометрический рост

Бактерии удваиваются каждый час. Начальное количество — 100. Сколько бактерий за первые три часа?

• b₁ = 100, q = 2
• S₃ = 100 + 200 + 400 = 700 бактерий

Пример 3: Отрицательная прогрессия

Температура падает на 2° каждый день. Первый день —10°. Какова сумма температур за три дня?

• a₁ = -10, d = -2
• a₂ = -12, a₃ = -14
• S₃ = -10 + (-12) + (-14) = -36°

Полезные советы

✅ Всегда проверяйте тип прогрессии перед расчетом

✅ Убедитесь в правильности d или q — это основа расчета

✅ Используйте калькулятор для больших чисел — вероятность ошибки выше

✅ Запишите три члена явно перед суммированием — так проще проверить

✅ Применяйте формулы только если вы уверены в их правильности

Дисклеймер: калькулятор предназначен для образовательных целей и решения стандартных задач. При использовании в профессиональных расчетах проверьте результаты дополнительно.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.