Сумма первого и третьего члена арифметической прогрессии

Сумма первого и третьего членов арифметической прогрессии — классическая задача алгебры, которая встречается в школьной программе, на экзаменах и в практических расчетах. Понимание этого простого, но важного концепта поможет решать более сложные задачи с последовательностями и прогрессиями.

Обновлено:

Содержание статьи
Расчет суммы первого и третьего членов Введи первый член арифметической прогрессии Может быть положительной, отрицательной или нулевой
Или введи члены напрямую Если заполнено, d будет проигнорирована

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину, называемую разностью прогрессии (обозначается буквой d).

Примеры арифметических прогрессий:

Как вычислить сумму первого и третьего членов

Основная формула

Для арифметической прогрессии с первым членом a₁ и разностью d:

a₃ = a₁ + 2d
S = a₁ + a₃ = a₁ + (a₁ + 2d) = 2a₁ + 2d

Упрощенная формула для суммы:

$$S = 2a_1 + 2d$$

Или через известные члены:

$$S = a_1 + a_3$$

Пошаговый алгоритм расчета

  1. Определи первый член прогрессии (a₁)
  2. Найди разность прогрессии (d) — разницу между любыми двумя соседними членами
  3. Вычисли третий член по формуле: a₃ = a₁ + 2d
  4. Сложи первый и третий члены: S = a₁ + a₃

Примеры расчетов

Пример 1: Простая прогрессия

Дано: a₁ = 3, d = 2

Решение:

Проверка: последовательность 3, 5, 7 ✓

Пример 2: Отрицательная разность

Дано: a₁ = 20, d = −5

Решение:

Проверка: последовательность 20, 15, 10 ✓

Пример 3: Когда известны оба члена

Дано: a₁ = 7, a₃ = 15

Решение:

Примечание: если нужна разность, то d = (a₃ − a₁) ÷ 2 = (15 − 7) ÷ 2 = 4

Свойства и особенности

СитуацияФормулаПример
Известны a₁ и dS = 2a₁ + 2da₁=5, d=3 → S=16
Известны a₁ и a₃S = a₁ + a₃a₁=5, a₃=11 → S=16
Нулевая разностьS = 2a₁a₁=8 → S=16
Отрицательные числаРасчет без измененийa₁=−3, a₃=1 → S=−2

Интересное свойство

В арифметической прогрессии сумма первого и третьего членов равна удвоенному среднему члену:

$$a_1 + a_3 = 2a_2$$

Это значит, что второй член всегда находится ровно посередине между первым и третьим.

Проверка на примере 1: a₁ = 3, a₂ = 5, a₃ = 7

Практическое применение

В финансах

Если на счёт каждый месяц добавляется одна и та же сумма:

Сумма первого и третьего пополнений: 100 000 + 120 000 = 220 000 руб.

В строительстве

Если материал закупается с постоянным увеличением количества:

Потребность в 1-й и 3-й дни: 50 + 70 = 120 штук

Частые ошибки

✗ Неправильно: забыть, что в третьем члене нужно добавить d два раза

✗ Неправильно: путать сумму первого и третьего с суммой первых трёх членов

✗ Неправильно: неправильно определить знак разности

Как использовать калькулятор

  1. Введи первый член прогрессии (a₁)
  2. Введи разность прогрессии (d)
  3. Нажми кнопку «Рассчитать»
  4. Калькулятор выдаст третий член (a₃) и их сумму (S)

Альтернативно можешь ввести a₁ и a₃ напрямую, если они известны.

Дисклеймер: калькулятор предназначен для математических расчётов и не заменяет профессиональную консультацию в финансовых или специализированных вопросах.

Часто задаваемые вопросы

Как найти сумму первого и третьего членов арифметической прогрессии?

Нужно знать первый член (a₁) и разность прогрессии (d). Третий член вычисляется по формуле a₃ = a₁ + 2d. Сумма будет S = a₁ + a₃ = 2a₁ + 2d.

Какая формула для третьего члена прогрессии?

Третий член арифметической прогрессии вычисляется как a₃ = a₁ + 2d, где a₁ — первый член, d — разность прогрессии.

Можно ли найти сумму, не зная разности прогрессии?

Если известны первый и третий члены, то разность не нужна — просто сложи эти два числа: S = a₁ + a₃.

Где применяется расчет суммы членов прогрессии?

В математике, физике, экономике при расчете финансовых потоков, накопления средств, роста показателей и анализе последовательностей.

Чем отличается арифметическая прогрессия от геометрической?

В арифметической прогрессии каждый следующий член отличается на постоянную величину (разность). В геометрической — каждый член отличается на постоянный множитель (знаменатель).

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.

1% от суммы

Расчет одного процента от суммы — базовая математическая операция, которая применяется в финансах, бухгалтерии, торговле и повседневных расчетах. …

Перейти к калькулятору →