Сумма первого и третьего члена

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину, называемую разностью прогрессии (обозначается буквой d).

Примеры арифметических прогрессий:

• 2, 4, 6, 8, 10, … (разность d = 2)
• 10, 7, 4, 1, -2, … (разность d = −3)
• 5, 5, 5, 5, … (разность d = 0)

Как вычислить сумму первого и третьего членов

Основная формула

Для арифметической прогрессии с первым членом a₁ и разностью d:

a₃ = a₁ + 2d
S = a₁ + a₃ = a₁ + (a₁ + 2d) = 2a₁ + 2d

Упрощенная формула для суммы:

$$S = 2a_1 + 2d$$

Или через известные члены:

$$S = a_1 + a_3$$

Пошаговый алгоритм расчета

1. Определи первый член прогрессии (a₁)
2. Найди разность прогрессии (d) — разницу между любыми двумя соседними членами
3. Вычисли третий член по формуле: a₃ = a₁ + 2d
4. Сложи первый и третий члены: S = a₁ + a₃

Примеры расчетов

Пример 1: Простая прогрессия

Дано: a₁ = 3, d = 2

Решение:

• a₃ = 3 + 2 × 2 = 3 + 4 = 7
• S = 3 + 7 = 10

Проверка: последовательность 3, 5, 7 ✓

Пример 2: Отрицательная разность

Дано: a₁ = 20, d = −5

Решение:

• a₃ = 20 + 2 × (−5) = 20 − 10 = 10
• S = 20 + 10 = 30

Проверка: последовательность 20, 15, 10 ✓

Пример 3: Когда известны оба члена

Дано: a₁ = 7, a₃ = 15

Решение:

• S = 7 + 15 = 22

Примечание: если нужна разность, то d = (a₃ − a₁) ÷ 2 = (15 − 7) ÷ 2 = 4

Свойства и особенности

Интересное свойство

В арифметической прогрессии сумма первого и третьего членов равна удвоенному среднему члену:

$$a_1 + a_3 = 2a_2$$

Это значит, что второй член всегда находится ровно посередине между первым и третьим.

Проверка на примере 1: a₁ = 3, a₂ = 5, a₃ = 7

• 3 + 7 = 10
• 2 × 5 = 10 ✓

Практическое применение

В финансах

Если на счёт каждый месяц добавляется одна и та же сумма:

• 1-й месяц: 100 000 руб.
• 2-й месяц: 110 000 руб.
• 3-й месяц: 120 000 руб.

Сумма первого и третьего пополнений: 100 000 + 120 000 = 220 000 руб.

В строительстве

Если материал закупается с постоянным увеличением количества:

• На 1-й день: 50 штук
• На 2-й день: 60 штук
• На 3-й день: 70 штук

Потребность в 1-й и 3-й дни: 50 + 70 = 120 штук

Частые ошибки

❌ Неправильно: забыть, что в третьем члене нужно добавить d два раза

• Правильно: a₃ = a₁ + 2d (не a₁ + d)

❌ Неправильно: путать сумму первого и третьего с суммой первых трёх членов

• Правильно: S(1,3) ≠ a₁ + a₂ + a₃

❌ Неправильно: неправильно определить знак разности

• Правильно: если числа убывают, то d отрицательна

Как использовать калькулятор

1. Введи первый член прогрессии (a₁)
2. Введи разность прогрессии (d)
3. Нажми кнопку «Рассчитать»
4. Калькулятор выдаст третий член (a₃) и их сумму (S)

Альтернативно можешь ввести a₁ и a₃ напрямую, если они известны.

Дисклеймер: калькулятор предназначен для математических расчётов и не заменяет профессиональную консультацию в финансовых или специализированных вопросах.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.