Обновлено:

Сумма квадратов диагоналей

Сумма квадратов диагоналей — это ключевое свойство параллелограмма, которое позволяет связать его стороны и диагонали одной простой формулой. Наш калькулятор поможет вам быстро проверить это соотношение или найти неизвестную сторону или диагональ, если известны остальные элементы. Это незаменимый инструмент для решения задач по геометрии.

Параметры параллелограмма

Как пользоваться калькулятором?

Для использования инструмента вам достаточно знать любые три из четырех следующих параметров: две стороны (a, b) и одну диагональ (d₁ или d₂), или две диагонали и одну сторону.

  1. Введите известные данные в соответствующие поля. Стороны a и b — это длины смежных сторон.
  2. Нажмите кнопку “Рассчитать”.
  3. Калькулятор автоматически вычислит недостающие параметры и покажет сумму квадратов диагоналей и сумму квадратов сторон, чтобы вы могли убедиться в их равенстве.

Теорема о сумме квадратов диагоналей (Формула)

В основе расчетов лежит теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Она гласит:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Математически это выражается формулой:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

где:

Пример расчета

Допустим, у нас есть параллелограмм со сторонами a = 5 см и b = 3 см.

  1. Найдем сумму квадратов сторон: 2(a² + b²) = 2(5² + 3²) = 2(25 + 9) = 2 * 34 = 68 см²

  2. Значит, сумма квадратов диагоналей также равна 68 см². d₁² + d₂² = 68

  3. Если нам известно, что одна диагональ d₁ = 7 см, мы можем найти квадрат второй диагонали: d₂² = 68 - d₁² = 68 - 7² = 68 - 49 = 19 см²

  4. Длина второй диагонали d₂ будет равна √19 ≈ 4.36 см.

Особые случаи: Прямоугольник и Ромб

Эта общая теорема имеет интересные следствия для частных видов параллелограммов.

Прямоугольник

У прямоугольника диагонали равны (d₁ = d₂ = d). Подставим это в основную формулу:

d² + d² = 2(a² + b²) 2d² = 2(a² + b²) d² = a² + b²

Это не что иное, как теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю.

Ромб

У ромба все стороны равны (a = b). Тогда формула принимает вид:

d₁² + d₂² = 2(a² + a²) d₁² + d₂² = 4a²

Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату его стороны, умноженному на четыре.

Терминология

Заключение

Свойство суммы квадратов диагоналей — мощный инструмент, который упрощает решение многих геометрических задач. Оно позволяет легко находить недостающие элементы фигуры и проверять правильность построений. Используйте наш калькулятор для быстрых и точных вычислений.

Дисклеймер: Этот калькулятор предназначен для образовательных и вспомогательных целей. Результаты расчетов являются ориентировочными. Для точных инженерных или научных вычислений рекомендуется проводить проверку вручную или консультироваться со специалистом.

Часто задаваемые вопросы

Для каких фигур работает эта теорема?

Теорема о сумме квадратов диагоналей справедлива для любого параллелограмма. Это также включает в себя его частные случаи: прямоугольник, ромб и квадрат.

Как связана эта теорема с теоремой Пифагора?

Прямоугольник — это частный случай параллелограмма, у которого диагонали равны. Если подставить это условие в формулу, она сведется к теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю.

Можно ли найти длину одной диагонали, зная стороны и другую диагональ?

Да, можно. Из формулы d₁² + d₂² = 2(a² + b²) можно выразить квадрат неизвестной диагонали. Например, d₂² = 2(a² + b²) - d₁². Затем извлеките квадратный корень, чтобы найти длину d₂.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.

18 процентов

Расчёт 18 процентов от суммы — это одна из самых частых задач в повседневной жизни. Нужно ли вам вычислить налог на добавленную стоимость (НДС), …

Перейти к калькулятору