Сумма коэффициентов в уравнении

Что такое сумма коэффициентов?

В контексте алгебры под «уравнением» обычно подразумевают многочлен (или полином) — выражение, состоящее из переменных и коэффициентов, связанных операциями сложения, вычитания и умножения.

Например, в многочлене P(x) = 4x³ - 7x² + x - 8:

• 4, -7, 1 (перед x) и -8 — это коэффициенты.

Сумма коэффициентов — это результат сложения всех этих чисел: 4 + (-7) + 1 + (-8) = -10.

Существует фундаментальное свойство, которое упрощает этот процесс.

Главное правило: Сумма коэффициентов многочлена равна его значению, если переменную x заменить на единицу (x = 1).

То есть, P(1) = 4(1)³ - 7(1)² + 1 - 8 = 4 - 7 + 1 - 8 = -10. Результат совпал!

Как рассчитать сумму коэффициентов: инструкция

Этот метод работает для любого многочлена, включая уравнения, приравненные к нулю.

1. Возьмите многочлен P(x). Например, P(x) = 2x⁴ - 3x³ + 6x² - x + 5.
2. Подставьте вместо x единицу: P(1) = 2(1)⁴ - 3(1)³ + 6(1)² - 1 + 5.
3. Выполните вычисления. Любое число в любой степени равно 1, поэтому выражение упрощается до суммы коэффициентов: P(1) = 2 - 3 + 6 - 1 + 5 = 9.

Таким образом, сумма коэффициентов равна 9.

Примеры расчетов

Рассмотрим несколько типичных примеров, чтобы закрепить понимание.

Пример 1: Квадратный трехчлен

Дан многочлен: Q(x) = -5x² + 8x - 3.

• Способ 1 (прямое сложение): -5 + 8 + (-3) = 0.
• Способ 2 (подстановка): Q(1) = -5(1)² + 8(1) - 3 = -5 + 8 - 3 = 0.

Сумма коэффициентов равна 0.

Пример 2: Многочлен с пропущенными степенями

Дан многочлен: R(x) = x⁵ - 2x³ + 7.

Важно помнить, что пропущенные степени имеют коэффициент 0.

• x⁵ имеет коэффициент 1.

• x⁴ отсутствует, его коэффициент 0.

• x³ имеет коэффициент -2.

• x² отсутствует, его коэффициент 0.

• x отсутствует, его коэффициент 0.

• Свободный член 7.

• Способ 1 (прямое сложение): 1 + 0 + (-2) + 0 + 0 + 7 = 6.

• Способ 2 (подстановка): R(1) = (1)⁵ - 2(1)³ + 7 = 1 - 2 + 7 = 6.

Сумма коэффициентов равна 6.

Дополнительные свойства и полезные приемы

Знание основного правила открывает двери к другим полезным приемам.

Чередующаяся сумма коэффициентов

А что если нужно сложить коэффициенты, меняя их знак: + - + - ...? Это тоже легко сделать.

Правило: Чередующаяся сумма коэффициентов многочлена равна его значению при x = -1.

Для P(x) = 4x³ - 7x² + x - 8: P(-1) = 4(-1)³ - 7(-1)² + (-1) - 8 = -4 - 7 - 1 - 8 = -20.

Типичные ошибки

• Потеря знака: Коэффициент в -7x² — это -7, а не 7.
• Забытый коэффициент: В выражении x³ + 2 коэффициент перед x³ равен 1, а не 0.
• Неправильное применение: Этот метод не работает для уравнений, содержащих x в знаменателе (1/x), под корнем (√x) или внутри тригонометрической функции (sin(x)).

Этот материал предназначен для образовательных целей и представляет собой теоретическое объяснение математических концепций.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.