Сумма коэффициентов

В алгебре часто встречается задача, которая на первый взгляд кажется простой: найти сумму всех коэффициентов многочлена. Можно делать это в лоб, выписывая каждое число и складывая, но есть гораздо более элегантный и быстрый способ. Этот метод основан на одном из ключевых свойств многочленов и экономит время, особенно при работе со сложными выражениями, такими как бином Ньютона.

Введите многочлен

Как найти сумму коэффициентов? (Основное правило)

Существует простое и универсальное правило:

Сумма коэффициентов многочлена P(x) равна его значению при x = 1, то есть P(1).

Почему это работает?

Рассмотрим многочлен в общем виде: P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Здесь aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ — это и есть коэффициенты. Если мы подставим вместо x единицу, получим:

P(1) = aₙ * 1ⁿ + aₙ₋₁ * 1ⁿ⁻¹ + ... + a₁ * 1¹ + a₀ * 1⁰

Поскольку 1 в любой степени равна 1, выражение упрощается до:

P(1) = aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁ + a₀

А это и есть ничто иное, как сумма всех коэффициентов.

Пример:

Дан многочлен P(x) = 4x³ - x² + 3x - 2.

  1. “Длинный” способ: Складываем коэффициенты: 4 + (-1) + 3 + (-2) = 4.
  2. Быстрый способ: Находим значение многочлена при x = 1: P(1) = 4(1)³ - (1)² + 3(1) - 2 = 4 - 1 + 3 - 2 = 4.

Результаты совпадают, но второй метод намного быстрее, особенно когда степень многочлена высока.

Как пользоваться калькулятором?

Наш онлайн-калькулятор автоматизирует этот процесс, позволяя вам получить ответ мгновенно.

  1. Введите многочлен в поле ввода. Используйте стандартную запись: x для переменной, ^ для возведения в степень (например, x^2), + и - для знаков. Коэффициенты могут быть целыми или дробными числами.
    • Пример: 5x^4 - 0.5x^3 + 7x - 10
  2. Нажмите кнопку “Рассчитать”.
  3. Получите результат — сумму всех коэффициентов введенного многочлена.

Калькулятор самостоятельно подставит x=1 и выполнит все вычисления.

Примеры решения задач

Задача 1: Стандартный многочлен

Найти сумму коэффициентов многочлена f(x) = 7x⁵ - 3x⁴ + 2x³ - x + 8.

Решение: По правилу, нужно найти f(1). f(1) = 7(1)⁵ - 3(1)⁴ + 2(1)³ - (1)¹ + 8 = 7 - 3 + 2 - 1 + 8 = 13. Ответ: 13.

Задача 2: Многочлен с пропущенными членами

Найти сумму коэффициентов многочлена g(x) = 2x⁶ - 9x⁴ + 1.

Решение: Важно помнить, что у пропущенных членов коэффициент равен нулю. Здесь нет членов со степенями x⁵, x³, x², x¹. Сумма коэффициентов: 2 + 0 + (-9) + 0 + 0 + 0 + 1 = -6. Проверяем через g(1): g(1) = 2(1)⁶ - 9(1)⁴ + 1 = 2 - 9 + 1 = -6. Ответ: -6.

Задача 3: Бином Ньютона

Найти сумму коэффициентов разложения (a - 2b)⁵.

Решение: После разложения по формуле бинома Ньютона мы получим многочлен, состоящий из членов вида C * aᵏ * bⁿ⁻ᵏ. Сумма всех числовых коэффициентов C будет равна значению всего выражения, если подставить a = 1 и b = 1. (1 - 2 * 1)⁵ = (-1)⁵ = -1. Ответ: -1.

Полезные советы и лайфхаки

Это свойство многочленов можно использовать для решения более сложных задач.

Сумма коэффициентов при четных и нечетных степенях

Иногда требуется найти сумму коэффициентов только при четных или только при нечетных степенях x.

  • Сумма коэффициентов при четных степенях x равна (P(1) + P(-1)) / 2.

    • Логика: При P(1) все коэффициенты складываются. При P(-1) коэффициенты при нечетных степенях получают знак “минус”. Складывая P(1) и P(-1), мы удваиваем сумму коэффициентов при четных степенях.

  • Сумма коэффициентов при нечетных степенях x равна (P(1) - P(-1)) / 2.

    • Логика: Вычитая P(-1) из P(1), мы убираем коэффициенты при четных степенях и удваиваем сумму коэффициентов при нечетных.

Пример: Для P(x) = 3x³ + 5x² - 2x + 4.

  • P(1) = 3 + 5 - 2 + 4 = 10.
  • P(-1) = -3 + 5 + 2 + 4 = 8.
  • Сумма при четных степенях (x² и x⁰): (10 + 8) / 2 = 9. (Проверка: 5 + 4 = 9).
  • Сумма при нечетных степенях (x³ и x¹): (10 - 8) / 2 = 1. (Проверка: 3 + (-2) = 1).

Основные понятия

  • Многочлен (полином) — алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность одночленов. Пример: 5x² - 3x + 1.
  • Коэффициент — числовой множитель при переменной в одночлене. В многочлене 5x² - 3x + 1 коэффициенты это 5, -3 и 1.
  • Степень многочлена — наибольшая из степеней его одночленов. В 5x² - 3x + 1 старшая степень равна 2.

Этот калькулятор предназначен для образовательных целей. При решении ответственных задач рекомендуется перепроверять результаты вручную.

Часто задаваемые вопросы

Почему сумма коэффициентов равна значению многочлена при x=1?

При подстановке x=1 в многочлен вида P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀, каждое слагаемое вида aₖx`ᵏ превращается в aₖ * 1ᵏ = aₖ. Таким образом, значение многочлена P(1) становится суммой всех его коэффициентов: aₙ + ... + a₁ + a₀.

Как найти сумму коэффициентов, если в многочлене пропущены некоторые степени?

Пропущенная степень означает, что ее коэффициент равен нулю. Например, в многочлене Q(x) = 5x³ - 2x + 7 отсутствует член с x². Это значит, что коэффициент при x² равен 0. При расчете суммы его нужно учитывать: 5 + 0 + (-2) + 7 = 10.

Работает ли этот метод для многочленов с несколькими переменными?

Основное правило (подстановка x=1) работает для многочленов с одной переменной. Для многочленов с несколькими переменными (например, P(a,b)) сумма всех коэффициентов находится подстановкой всех переменных равными 1, то есть P(1,1).

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.