Калькулятор суммы геометрической прогрессии онлайн

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Например: 2, 6, 18, 54 — здесь каждое число получается умножением предыдущего на 3.

Основные элементы геометрической прогрессии:

• Первый член (b1) — начальное число последовательности
• Знаменатель (q) — число, на которое умножается каждый член
• n-й член — любой элемент последовательности под номером n

Формула суммы геометрической прогрессии

Для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии используется формула:

Sn = b1 × (qⁿ - 1) / (q - 1) при q ≠ 1

Где:

• Sn — сумма n первых членов
• b1 — первый член прогрессии
• q — знаменатель прогрессии
• n — количество членов

Если знаменатель равен единице (q = 1), все члены прогрессии одинаковы, и сумма равна Sn = b1 × n.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

Когда знаменатель по модулю меньше единицы (|q| < 1), можно найти сумму бесконечного числа членов:

S = b1 / (1 - q)

Эта формула работает только при убывающей прогрессии, когда каждый следующий член становится меньше предыдущего.

Как пользоваться калькулятором

Наш онлайн-калькулятор позволяет быстро рассчитать сумму геометрической прогрессии:

1. Введите значение первого члена прогрессии (b1)
2. Укажите знаменатель прогрессии (q)
3. Введите количество членов (n), которые нужно сложить
4. Нажмите кнопку расчета
5. Получите готовый результат с подробным решением

Калькулятор автоматически выбирает нужную формулу в зависимости от значения знаменателя и показывает промежуточные вычисления.

Примеры расчета

Пример 1: Простая геометрическая прогрессия

Найдем сумму первых 5 членов прогрессии, где b1 = 3, q = 2.

Решение:

• Sn = 3 × (2⁵ - 1) / (2 - 1)
• Sn = 3 × (32 - 1) / 1
• Sn = 3 × 31 = 93

Ответ: сумма первых пяти членов равна 93.

Пример 2: Прогрессия с дробным знаменателем

Рассчитаем сумму 4 членов при b1 = 100, q = 0,5.

Решение:

• Sn = 100 × (0,5⁴ - 1) / (0,5 - 1)
• Sn = 100 × (0,0625 - 1) / (-0,5)
• Sn = 100 × (-0,9375) / (-0,5)
• Sn = 187,5

Ответ: сумма равна 187,5.

Пример 3: Бесконечная убывающая прогрессия

Найдем сумму бесконечной прогрессии с b1 = 12, q = 0,25.

Решение:

• S = 12 / (1 - 0,25)
• S = 12 / 0,75
• S = 16

Ответ: сумма бесконечного числа членов равна 16.

Практическое применение

Геометрическая прогрессия встречается во многих областях:

Финансы и инвестиции

Расчет сложных процентов по вкладам и кредитам основан на формуле геометрической прогрессии. При начислении процентов на проценты капитал растет именно по этому принципу.

Биология и медицина

Рост бактериальных культур, деление клеток и распространение вирусов часто описываются с помощью геометрической прогрессии.

Физика

Радиоактивный распад веществ, затухание колебаний, изменение температуры при охлаждении подчиняются законам геометрической прогрессии.

Экономика

Моделирование роста населения, инфляции, изменения цен на товары и услуги использует принципы геометрической последовательности.

Полезные советы

При работе с геометрической прогрессией помните:

• Проверяйте знак знаменателя: отрицательный q дает чередующиеся положительные и отрицательные члены
• Для больших значений n используйте калькулятор — возведение в степень вручную занимает много времени
• Убедитесь, что q ≠ 1 перед применением основной формулы
• При |q| > 1 прогрессия возрастающая, при |q| < 1 — убывающая
• Для бесконечной суммы обязательно должно выполняться условие |q| < 1

Наш калькулятор учитывает все эти особенности автоматически и выдает точный результат с учетом математических правил.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.