Сумма геометрической прогрессии

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой каждый член (начиная со второго) равен произведению предыдущего члена на постоянное число q, называемое знаменателем прогрессии.

Общий вид: b₁, b₂, b₃, …, bₙ

Где: bₙ = b₁ × q^(n-1)

Примеры геометрических прогрессий

Формула суммы геометрической прогрессии

Сумма конечной геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то сумма первых n членов:

S = b₁ × (1 - q^n) / (1 - q)

Или альтернативная форма:

S = b₁ × (q^n - 1) / (q - 1)

Если q = 1, то:

S = b₁ × n

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Если |q| < 1 (модуль знаменателя меньше 1), то бесконечная прогрессия имеет конечную сумму:

S = b₁ / (1 - q)

Если |q| ≥ 1, сумма бесконечной прогрессии не существует (или равна бесконечности).

Как пользоваться калькулятором

1. Введите первый член (b₁) — начальное число последовательности
2. Введите знаменатель (q) — число, на которое умножается каждый предыдущий член
3. Выберите тип расчёта:
   • Конечная прогрессия — укажите количество членов (n)
   • Бесконечная прогрессия — система автоматически проверит условие сходимости
4. Нажмите “Рассчитать” — получите результат с подробным решением

Калькулятор автоматически определит, сходится ли бесконечная прогрессия, и выведет соответствующее сообщение.

Методология расчёта

Пример 1: Конечная прогрессия

Задача: Найти сумму первых 5 членов прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32

Данные:

• b₁ = 2
• q = 2
• n = 5

Решение:

S₅ = 2 × (2⁵ - 1) / (2 - 1)
S₅ = 2 × (32 - 1) / 1
S₅ = 2 × 31
S₅ = 62

Проверка: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 ✓

Пример 2: Убывающая конечная прогрессия

Задача: Найти сумму членов: 100, 50, 25, 12,5, 6,25

Данные:

• b₁ = 100
• q = 0,5
• n = 5

Решение:

S₅ = 100 × (1 - 0,5⁵) / (1 - 0,5)
S₅ = 100 × (1 - 0,03125) / 0,5
S₅ = 100 × 0,96875 / 0,5
S₅ = 100 × 1,9375
S₅ = 193,75

Пример 3: Бесконечная сходящаяся прогрессия

Задача: Найти сумму бесконечной прогрессии: 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + …

Данные:

• b₁ = 1
• q = 0,5
• |q| = 0,5 < 1 — прогрессия сходится

Решение:

S = 1 / (1 - 0,5)
S = 1 / 0,5
S = 2

Ключевые понятия

Знаменатель геометрической прогрессии (q)

Число, на которое умножается каждый член для получения следующего.

• q > 1 — возрастающая прогрессия
• 0 < q < 1 — убывающая прогрессия
• q < 0 — знаки членов чередуются
• q = 1 — все члены равны первому члену

Сходимость и расходимость

• Сходящаяся — имеет конечную сумму (когда |q| < 1)
• Расходящаяся — не имеет конечной суммы (когда |q| ≥ 1)

Член геометрической прогрессии

Любое число в последовательности. n-й член вычисляется: bₙ = b₁ × q^(n-1)

Практическое применение

Финансы: Сложные проценты

Если вложить 1000 руб. под 10% годовых на 5 лет, сумма станет:

S = 1000 × (1,1⁵ - 1) / (1,1 - 1) = 6105,1 руб.

Это сумма всех ежегодных накоплений при росте капитала.

Физика: Радиоактивный распад

Количество радиоактивного вещества каждый период уменьшается в 2 раза. За 10 периодов остаётся:

Остаток = 100 × (1 - 0,5¹⁰) / (1 - 0,5) ≈ 99,9% от начального количества распалось

Информатика: Анализ сложности алгоритмов

Многие рекурсивные алгоритмы (например, поиск в ширину) обрабатывают данные по геометрической прогрессии, где число узлов растёт экспоненциально.

Частые ошибки при расчёте

Дополнительные формулы

Поиск знаменателя по двум членам

Если известны два соседних члена, то:

q = bₙ₊₁ / bₙ

Если известны члены на расстоянии k:

q^k = bₘ / bₙ, откуда q = (bₘ / bₙ)^(1/k)

Поиск первого члена

b₁ = bₙ / q^(n-1)

Поиск количества членов до заданной суммы

При известной сумме S найти n:

n = log(1 - S(1-q)/b₁) / log(q)

(применимо при условии логарифмирования)

Геометрическая прогрессия — мощный инструмент для моделирования процессов с постоянным коэффициентом роста или убывания. Правильное применение формул позволяет быстро решить сложные задачи в математике, экономике и естественных науках.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.