Обновлено:

Углы параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. Одно из главных свойств параллелограмма связано с его углами. Понимание, как вычисляется сумма двух углов параллелограмма, необходимо для решения геометрических задач, архитектурных расчетов и инженерных проектов.

Расчет суммы углов параллелограмма
Тип суммы для расчета

Основные свойства углов параллелограмма

У параллелограмма есть четыре угла. Обозначим их как α, β, γ и δ, расположенные в порядке обхода.

Ключевые свойства:

Сумма двух смежных углов

Смежные углы параллелограмма — это углы, расположенные рядом друг с другом (имеющие общую сторону).

Формула: $$α + β = 180°$$

где α и β — два смежных угла.

Почему это так? Смежные углы параллелограмма образованы одной стороной параллелограмма и двумя параллельными сторонами. По свойству параллельных прямых, односторонние углы (углы, находящиеся по одну сторону от секущей) в сумме дают 180°.

Пример расчета

Задача: В параллелограмме один угол равен 65°. Найдите смежный с ним угол.

Решение: $$β = 180° - 65° = 115°$$

Ответ: Смежный угол равен 115°.

Сумма двух противоположных углов

Противоположные углы параллелограмма — это углы, расположенные друг напротив друга (не имеющие общей стороны).

Свойство: Противоположные углы параллелограмма всегда равны.

$$α = γ \text{ и } β = δ$$

Сумма противоположных углов:

Если оба противоположных угла равны α, то их сумма: $$2α$$

Если оба противоположных угла равны β, то их сумма: $$2β$$

Поскольку смежные углы дают 180°, имеем: $$2α + 2β = 360°$$ $$α + β = 180°$$

Пример расчета

Задача: В параллелограмме один из углов составляет 72°. Найдите сумму двух противоположных углов (не равных 72°).

Решение:

  1. Найдем смежный угол: β = 180° - 72° = 108°
  2. Противоположный угол к найденному: γ = 108°
  3. Сумма двух противоположных углов: 108° + 108° = 216°

Ответ: 216°.

Таблица углов параллелограмма

Тип угловСоотношениеСумма
Смежные (соседние)Дополнительные друг к другу180°
ПротивоположныеРавны между собой2α или 2β
Все четыре угла—360°

Частные случаи

Прямоугольник

Прямоугольник — это частный случай параллелограмма, где все углы прямые.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, где все стороны равны, но углы не обязательно прямые.

Пошаговое решение задач

Задача 1: Найти оба угла параллелограмма

Дано: Один угол параллелограмма на 40° больше другого.

Решение:

  1. Обозначим меньший угол как x, тогда больший = x + 40°
  2. Сумма смежных углов: x + (x + 40°) = 180°
  3. 2x + 40° = 180°
  4. 2x = 140°
  5. x = 70°
  6. Второй угол: 70° + 40° = 110°

Ответ: Углы параллелограмма равны 70° и 110°.

Задача 2: Определить сумму двух определенных углов

Дано: Параллелограмм ABCD. Угол A = 58°.

Решение:

  1. Угол B (смежный с A): B = 180° - 58° = 122°
  2. Угол C (противоположный A): C = 58°
  3. Угол D (противоположный B): D = 122°
  4. Сумма углов A и C (противоположные): 58° + 58° = 116°

Ответ: 116°.

Практическое применение

Знание о сумме углов параллелограмма используется:

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Думать, что все углы параллелограмма равны. ✓ Верно: Равны только противоположные углы.

❌ Ошибка 2: Забыть, что сумма смежных углов = 180°. ✓ Верно: Сумма только смежных углов равна 180°, а не любых двух.

❌ Ошибка 3: Путать сумму двух углов с суммой всех четырех. ✓ Верно: Сумма всех четырех углов всегда 360°.

Часто задаваемые вопросы

Чему равна сумма двух смежных углов параллелограмма?

Сумма двух смежных (соседних) углов параллелограмма всегда равна 180°. Это связано с тем, что смежные углы образованы параллельными прямыми и секущей, являясь односторонними углами.

Какая сумма противоположных углов параллелограмма?

Противоположные углы параллелограмма равны друг другу. Если обозначить их как α и β, то каждый из них имеет одно значение, и их сумма зависит от величины угла: 2α или 2β.

Сумма всех четырех углов параллелограмма?

Сумма всех четырех углов любого параллелограмма равна 360°, как и у любого четырехугольника. Это следует из свойства суммы углов многоугольника.

Как найти углы параллелограмма, если известна их разница?

Если известна разница между углами и одно из основных свойств (сумма смежных углов = 180°), можно составить систему уравнений и решить её. Например, если α - β = 30°, а α + β = 180°, то α = 105°, β = 75°.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.