Сумма двух неразвернутых углов

Что такое неразвернутый угол

Неразвернутый угол — это угол, величина которого находится в диапазоне от 0° до 180° (не включая граничные значения).

Основные типы неразвернутых углов:

• Острый угол — от 0° до 90°
• Прямой угол — ровно 90°
• Тупой угол — от 90° до 180°

В отличие от развернутого угла (180°) и полного угла (360°), неразвернутый угол не охватывает полностью одну из сторон прямой линии.

Сумма смежных углов

Самое важное свойство: сумма двух смежных неразвернутых углов всегда равна 180°.

Смежные углы — это два угла, которые:

• Имеют общую вершину
• Имеют общую сторону
• Другие две стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны

Математическая запись: Если углы α и β смежные, то α + β = 180°

Примеры:

• 50° + 130° = 180°
• 90° + 90° = 180°
• 45° + 135° = 180°
• 1° + 179° = 180°

Это основное свойство вытекает из того, что две стороны смежных углов образуют развернутый угол.

Вертикальные углы

Когда две прямые пересекаются, образуются четыре угла. Углы, расположенные напротив друг друга через точку пересечения, называются вертикальными.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны друг другу.

Если обозначить образовавшиеся углы как 1, 2, 3, 4 (по часовой стрелке), то:

• Угол 1 = Угол 3
• Угол 2 = Угол 4

При этом угол 1 + угол 2 = 180° (как смежные углы).

Пример: если один угол 60°, то:

• Вертикальный ему угол также 60°
• Два других угла равны по 120° каждый
• Сумма любых двух смежных углов: 60° + 120° = 180°

Варианты сумм двух неразвернутых углов

Сумма двух произвольных неразвернутых углов может быть различной:

Вывод: сумма двух неразвернутых углов может быть:

• Меньше 180° (два острых угла)
• Равна 180° (смежные углы или дополняющие углы)
• Больше 180° (два тупых угла или комбинация острого и тупого)

Дополняющие углы

Дополняющие углы (дополнительные) — это два неразвернутых угла, сумма которых равна 180°, но они необязательно смежные.

Они не должны иметь общую сторону или вершину — главное условие: α + β = 180°

Примеры:

• Угол 70° и угол 110°
• Угол 33° и угол 147°
• Два прямых угла (90° + 90°)

Дополняющие углы — более общее понятие, чем смежные, так как смежные углы — это частный случай дополняющих углов с дополнительным условием смежности.

Практические примеры

Задача 1: Один из смежных углов равен 35°. Найти второй угол.

Решение: β = 180° − 35° = 145°

Задача 2: При пересечении двух прямых образовался угол 72°. Найти все четыре угла.

Решение:

• Первый угол: 72°
• Смежный с ним: 180° − 72° = 108°
• Вертикальный первому: 72°
• Вертикальный второму: 108°

Ответ: 72°, 108°, 72°, 108°

Задача 3: Угол в 5 раз больше смежного. Найти оба угла.

Решение:

• Обозначим меньший угол как x
• Больший угол: 5x
• x + 5x = 180°
• 6x = 180°
• x = 30°
• Второй угол: 150°

Геометрические следствия

Из свойства суммы смежных углов вытекают важные теоремы:

1. Все прямые углы равны — каждый равен 90°
2. Если две прямые перпендикулярны, они образуют четыре прямых угла
3. При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, что связано с суммами смежных углов
4. В треугольнике сумма углов равна 180° — обобщение свойства смежных углов

Типичные ошибки

Применение в жизни

Принцип суммы смежных углов используется в:

• Строительстве и архитектуре — при расчете углов стен, крыш, лестниц
• Навигации — для определения направлений и углов разворота
• Дизайне и искусстве — при композиции и расположении объектов
• Инженерии — при проектировании механизмов и конструкций
• Физике — при анализе отражения света и движения тел

Запомните главное: сумма двух смежных неразвернутых углов всегда равна 180°. Это фундаментальное свойство, на котором строится большая часть геометрии. Остальные комбинации углов могут дать любую сумму в зависимости от их величин.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.