Сумма двух квадратов

Теорема Ферма о двух квадратах

Французский математик Пьер де Ферма в XVII веке сформулировал ключевую теорему:

Нечетное простое число p можно представить суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда p имеет вид 4k + 1.

Например:

• 5 = 4(1) + 1 → 5 = 1² + 2² ✓
• 13 = 4(3) + 1 → 13 = 2² + 3² ✓
• 3 = 4(0) + 3 → представить невозможно ✗
• 7 = 4(1) + 3 → представить невозможно ✗

Это условие распространяется и на составные числа через их разложение на простые множители.

Критерий представления числа

Натуральное число n можно представить суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда в его каноническом разложении

$$n = 2^a \times p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} \times … \times q_1^{c_1} \times q_2^{c_2} \times …$$

где:

• p, q — простые нечетные делители
• p имеет вид 4k + 1
• q имеет вид 4k + 3

Все простые множители вида 4k + 3 входят в четной степени.

Примеры разложения

Как найти представление суммой двух квадратов

Метод подбора (простой способ)

Для небольших чисел можно проверить все возможные пары:

1. Возьми число n
2. Переберай значение a от 0 до √n
3. Вычисли b² = n − a²
4. Проверь, является ли b целым числом

Пример: найти представление числа 65

• a = 0: b² = 65 (не полный квадрат)
• a = 1: b² = 64 = 8² ✓ → 65 = 1² + 8²
• a = 2: b² = 61 (не полный квадрат)
• a = 3: b² = 56 (не полный квадрат)
• a = 4: b² = 49 = 7² ✓ → 65 = 4² + 7²
• a = 5: b² = 40 (не полный квадрат)
• a = 6: b² = 29 (не полный квадрат)
• a = 7: b² = 16 = 4² → повтор (4² + 7²)
• a = 8: b² = 1 = 1² → повтор (1² + 8²)

Результат: 65 имеет два представления: 1² + 8² и 4² + 7²

Алгоритм Гаусса (через гауссовы целые числа)

Для более сложных чисел используется факторизация в кольце гауссовых целых чисел (комплексные числа вида a + bi с целыми a, b).

Примерная схема:

1. Разложи n на простые множители
2. Для каждого простого p вида 4k+1 найди гауссово разложение
3. Перемножь множители с учетом комплексных единиц
4. Найди действительную и мнимую части результата

Этот метод сложнее в ручных вычислениях, но универсален.

Количество представлений

Число представлений числа n суммой двух квадратов (с учетом порядка и знаков) связано со специальной функцией r₂(n):

$$r_2(n) = 4 \sum_{d|n} \chi(d)$$

где χ(d) — характер Дирихле:

• χ(d) = 0, если d четное
• χ(d) = 1, если d ≡ 1 (mod 4)
• χ(d) = −1, если d ≡ 3 (mod 4)

Пример для n = 5:

• Делители: 1, 5
• χ(1) = 1 (1 ≡ 1 mod 4)
• χ(5) = 1 (5 ≡ 1 mod 4)
• r₂(5) = 4(1 + 1) = 8

Восемь представлений (с учетом знаков и порядка):

• ±1² ± 2² и ±2² ± 1²

Но в классическом смысле (положительный порядок) — только одно: 1² + 2².

Практические применения

Геометрия и физика

Сумма двух квадратов появляется при вычислении расстояний в координатной системе и в волновых явлениях.

Криптография

Алгоритмы факторизации (например, Ферма и Полларда) используют свойства представления чисел суммой квадратов.

Теория чисел

Изучение представлений чисел суммой квадратов углубляет понимание структуры натуральных чисел и их свойств.

Информатика

Алгоритмы поиска представлений используются в вычислительной теории чисел и компьютерной алгебре.

Частые ошибки

Дополнительная информация

Число 2 — особый случай

• 2 = 1² + 1² (единственное четное число, представимое суммой двух ненулевых квадратов)

Число 1

• 1 = 1² + 0² (представимо как сумма)

Исторический факт

Теорема Ферма была доказана Леонардом Эйлером в 1747 году после более чем 60 лет открытой задачи. Это стало одним из первых больших успехов в аналитической теории чисел.

Связь с другими формами представления

Существуют аналогичные теоремы для суммы трех и четырех квадратов (теорема Лагранжа: каждое натуральное число представимо суммой четырех квадратов).

Материал представлен в информационных целях. При работе с высокой теорией чисел рекомендуется использовать специализированное ПО для факторизации и вычислений.

Часто задаваемые вопросы