Сумма двух квадратов

Сумма двух квадратов — это представление целого числа в виде n = a² + b², где a и b целые числа. Эта задача имеет глубокие корни в теории чисел и связана с фундаментальной теоремой Ферма. Не все натуральные числа можно записать таким образом, и существуют четкие математические критерии для определения, какие числа допускают такое представление.

Обновлено:

Содержание статьи
Проверка представления числа суммой двух квадратов Число от 1 до 1 000 000

Теорема Ферма о двух квадратах

Французский математик Пьер де Ферма в XVII веке сформулировал ключевую теорему:

Нечетное простое число p можно представить суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда p имеет вид 4k + 1.

Например:

Это условие распространяется и на составные числа через их разложение на простые множители.

Критерий представления числа

Натуральное число n можно представить суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда в его каноническом разложении

$$n = 2^a \times p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} \times ... \times q_1^{c_1} \times q_2^{c_2} \times ...$$

где:

Все простые множители вида 4k + 3 входят в четной степени.

Примеры разложения

ЧислоРазложениеВид 4k±1Четная степень?Представимо?Результат
554(1)+1—Да1² + 2²
13134(3)+1—Да2² + 3²
255²4(1)+1—Да3² + 4²
102 × 55: 4(1)+1—Да1² + 3²
334(0)+3нечетнаяНет—
62 × 33: 4(0)+3нечетнаяНет—
453² × 53: 4(0)+3четная; 5: 4(1)+1Да3² + 6²
182 × 3²3: 4(0)+3четнаяДа3² + 3²

Как найти представление суммой двух квадратов

Метод подбора (простой способ)

Для небольших чисел можно проверить все возможные пары:

  1. Возьми число n
  2. Переберай значение a от 0 до √n
  3. Вычисли b² = n − a²
  4. Проверь, является ли b целым числом

Пример: найти представление числа 65

Результат: 65 имеет два представления: 1² + 8² и 4² + 7²

Алгоритм Гаусса (через гауссовы целые числа)

Для более сложных чисел используется факторизация в кольце гауссовых целых чисел (комплексные числа вида a + bi с целыми a, b).

Примерная схема:

  1. Разложи n на простые множители
  2. Для каждого простого p вида 4k+1 найди гауссово разложение
  3. Перемножь множители с учетом комплексных единиц
  4. Найди действительную и мнимую части результата

Этот метод сложнее в ручных вычислениях, но универсален.

Количество представлений

Число представлений числа n суммой двух квадратов (с учетом порядка и знаков) связано со специальной функцией r₂(n):

$$r_2(n) = 4 \sum_{d|n} \chi(d)$$

где χ(d) — характер Дирихле:

Пример для n = 5:

Восемь представлений (с учетом знаков и порядка):

Но в классическом смысле (положительный порядок) — только одно: 1² + 2².

Практические применения

Геометрия и физика

Сумма двух квадратов появляется при вычислении расстояний в координатной системе и в волновых явлениях.

Криптография

Алгоритмы факторизации (например, Ферма и Полларда) используют свойства представления чисел суммой квадратов.

Теория чисел

Изучение представлений чисел суммой квадратов углубляет понимание структуры натуральных чисел и их свойств.

Информатика

Алгоритмы поиска представлений используются в вычислительной теории чисел и компьютерной алгебре.

Частые ошибки

ОшибкаНеправильноПравильно
Забывают про четность степени12 = 2² × 3 представимо?3 входит в четной степени, так что да: 12 = 2² + 2²√2… нет, это неправильно. 12 не представимо, так как 3 входит в нечетной степени (степень 1)
Путают “вид 4k+1”7 вида 4k+17 = 4(1) + 3, вида 4k+3
Считают неполные квадраты√65 = ?²65 не полный квадрат; нужно найти a² + b² = 65
Считают одно представление за разные5 = 1² + 2² и 2² + 1² как разныеВ стандартной интерпретации это одно представление

Дополнительная информация

Число 2 — особый случай

Число 1

Исторический факт

Теорема Ферма была доказана Леонардом Эйлером в 1747 году после более чем 60 лет открытой задачи. Это стало одним из первых больших успехов в аналитической теории чисел.

Связь с другими формами представления

Существуют аналогичные теоремы для суммы трех и четырех квадратов (теорема Лагранжа: каждое натуральное число представимо суммой четырех квадратов).

Материал представлен в информационных целях. При работе с высокой теорией чисел рекомендуется использовать специализированное ПО для факторизации и вычислений.

Часто задаваемые вопросы

Какие числа можно представить суммой двух квадратов?

Число можно представить суммой двух целых квадратов, если в его разложении на простые множители все простые числа вида 4k+3 входят в четной степени.

Почему число 3 нельзя представить суммой двух квадратов?

Потому что 3 — простое число вида 4k+3 (k=0), и оно входит в нечетной степени в свое разложение. Теорема Ферма это запрещает.

Сколько способов представить число суммой двух квадратов?

Количество способов зависит от структуры простых множителей. Для чисел вида 2^a × p₁^b₁ × p₂^b₂... количество представлений вычисляется через формулу делителей.

Применяется ли это в криптографии?

Да, проблема факторизации и нахождение представлений числа суммой двух квадратов используются в некоторых криптографических алгоритмах.

Как отличить число, которое нельзя представить суммой двух квадратов?

Разложи число на простые множители. Если хотя бы один простой делитель вида 4k+3 входит в нечетной степени — число не представляется суммой двух квадратов.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.

Сумма числа 6

Разложение числа на слагаемые — базовая математическая операция, которая показывает, как можно представить число в виде суммы других чисел. Для числа …

Перейти к калькулятору →