Рассчитать сумму через арифметическую прогрессию

Как пользоваться калькулятором

1. Укажите начальное число — первый член последовательности (например, 1, 5, 10)
2. Введите конечное число — последний член или верхняя граница диапазона
3. Задайте шаг (интервал) — разность между соседними членами прогрессии
4. Нажмите «Рассчитать»
5. Получите результат: сумму всех членов, их количество и саму последовательность

Пример: начало = 2, конец = 20, шаг = 3

• Последовательность: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20
• Количество членов: 7
• Сумма: 77

Методология расчета

Основная формула суммы арифметической прогрессии

S = n × (a₁ + aₙ) / 2

Где:

• S — сумма всех членов
• n — количество членов последовательности
• a₁ — первый член
• aₙ — последний член

Альтернативная формула через разность

S = n × (2a₁ + d(n-1)) / 2

Где:

• d — разность (шаг) прогрессии

Расчет количества членов

n = (aₙ - a₁) / d + 1

Пример расчета

Задача: найти сумму чисел от 5 до 50 с шагом 5

1. Определяем параметры:

   • a₁ = 5
   • aₙ = 50
   • d = 5

2. Находим количество членов:

   • n = (50 - 5) / 5 + 1 = 10

3. Вычисляем сумму:

   • S = 10 × (5 + 50) / 2 = 10 × 55 / 2 = 275

Проверка: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50 = 275 ✓

Типовые задачи и решения

Сумма нечетных чисел

Задача: найти сумму нечетных чисел от 1 до 99

Расчет: n = (99-1)/2 + 1 = 50; S = 50 × (1+99) / 2 = 2500

Сумма четных чисел

Задача: найти сумму четных чисел от 2 до 100

Сумма кратных чисел

Задача: сумма чисел, кратных 7, от 7 до 70

• Последовательность: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
• n = 10
• S = 10 × (7 + 70) / 2 = 385

Практические применения

1. Финансовые расчеты

Накопление с регулярным увеличением вклада

• Первый месяц: 1000 руб.
• Каждый месяц добавляем: +500 руб.
• Период: 12 месяцев
• Общая сумма вкладов: 39 000 руб.

2. Учебные задачи

Последовательность номеров страниц

• Печать каждой 5-й страницы с 5 по 100
• Количество страниц: 20
• Сумма номеров: 1050

3. Производственные расчеты

План выпуска с ростом производительности

• День 1: 100 единиц
• Рост: +10 единиц/день
• 10 рабочих дней
• Общий выпуск: 1450 единиц

Частые ошибки при расчетах

Ошибка 1: Неправильный подсчет количества членов

✗ Неверно: для чисел от 1 до 10 с шагом 1 считают n = 10 ✓ Верно: n = (10-1)/1 + 1 = 10 (включая оба конца)

Ошибка 2: Забывают включить последний член

✗ Неверно: от 5 до 20 с шагом 5 берут только 5, 10, 15 ✓ Верно: 5, 10, 15, 20 (если 20 попадает в шаг)

Ошибка 3: Путаница с формулами

✗ Неверно: используют S = n × a₁ (формула для одинаковых членов) ✓ Верно: S = n × (a₁ + aₙ) / 2 для арифметической прогрессии

Особые случаи

Когда конечное число не кратно шагу

Пример: от 1 до 20 с шагом 3

• Последовательность: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 (20 не входит)
• Последний член: 19
• n = 7
• S = 7 × (1 + 19) / 2 = 70

Отрицательные числа

Пример: от -10 до 10 с шагом 5

• Последовательность: -10, -5, 0, 5, 10
• n = 5
• S = 5 × (-10 + 10) / 2 = 0

Убывающая прогрессия

Пример: от 100 до 50 с шагом -10

• Последовательность: 100, 90, 80, 70, 60, 50
• n = 6
• S = 6 × (100 + 50) / 2 = 450

Советы по использованию

1. Проверяйте граничные значения — убедитесь, что последнее число входит или не входит в последовательность согласно шагу

2. Используйте онлайн-калькулятор — для сложных последовательностей это быстрее и точнее ручного расчета

3. Округление — при нецелых шагах калькулятор покажет корректное количество членов

4. Визуализация — многие калькуляторы выводят саму последовательность для проверки

5. Двойная проверка — для критических расчетов сверьте результат альтернативным методом

Связанные расчеты

• Геометрическая прогрессия — когда каждый член умножается на постоянное число
• Среднее арифметическое — для анализа центральной тенденции последовательности
• Медиана последовательности — средний член упорядоченного ряда

Калькулятор предоставляет математически точные результаты. Для финансовых и производственных решений рекомендуется дополнительная проверка.

Часто задаваемые вопросы

Что ещё может пригодиться после

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.