Сумма 3 вероятностей

Расчет суммы вероятностей трех событий — это ключевая задача в теории вероятностей, которая помогает найти вероятность наступления хотя бы одного из этих событий. Важно понимать, что метод расчета напрямую зависит от того, являются ли события несовместными (не могут произойти одновременно) или совместными (могут произойти вместе).

Тип событий
Вероятности событий

Как пользоваться калькулятором

Для точного расчета суммы трех вероятностей (P(A ∪ B ∪ C)) вам потребуется определить несколько значений и ввести их в соответствующие поля калькулятора.

  1. Введите вероятности каждого события:
    • P(A): Вероятность наступления события A.
    • P(B): Вероятность наступления события B.
    • P(C): Вероятность наступления события C.
  2. Введите вероятности пересечений событий (попарно):
    • P(A ∩ B): Вероятность того, что события A и B произойдут одновременно.
    • P(A ∩ C): Вероятность того, что события A и C произойдут одновременно.
    • P(B ∩ C): Вероятность того, что события B и C произойдут одновременно.
  3. Введите вероятность тройного пересечения:
    • P(A ∩ B ∩ C): Вероятность того, что все три события A, B и C произойдут одновременно.
  4. Нажмите кнопку “Рассчитать”.
  5. Получите результат: Калькулятор покажет итоговую вероятность наступления хотя бы одного из трех событий.

Методология расчета

Основой для расчета является формула сложения вероятностей для трех событий. Она учитывает все возможные комбинации, чтобы избежать двойного или тройного подсчета.

Основная формула

Вероятность суммы трех событий A, B и C вычисляется по формуле:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Где:

  • P(A ∪ B ∪ C) — вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий A, B или C.
  • P(A), P(B), P(C) — вероятности каждого события по отдельности.
  • P(A ∩ B) — вероятность пересечения событий A и B (произойдут оба).
  • Знак ∪ означает “ИЛИ” (объединение), а ∩ — “И” (пересечение).

Случай 1: Несовместные события

События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. В этом случае вероятность их пересечения равна нулю.

P(A ∩ B) = 0, P(A ∩ C) = 0, P(B ∩ C) = 0, P(A ∩ B ∩ C) = 0.

Формула значительно упрощается:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)

Пример: Какова вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет 1, 5 или 6?

  • События A={выпало 1}, B={выпало 5}, C={выпало 6} несовместны.
  • P(A) = 1/6, P(B) = 1/6, P(C) = 1/6.
  • P(A ∪ B ∪ C) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Случай 2: Совместные события

Совместные события могут произойти одновременно. В этом случае необходимо использовать полную формулу, вычитая вероятности пересечений, чтобы не посчитать общие исходы дважды.

Пример: В колоде 52 карты. Какова вероятность вытащить карту, которая является либо красной (A), либо картинкой (B), либо королем (C)?

  • P(A) = 26/52 (красные карты)
  • P(B) = 12/52 (картинки: В, Д, К каждой масти)
  • P(C) = 4/52 (короли)
  • P(A ∩ B) = 6/52 (красные картинки: J, Q, K червей и бубен)
  • P(A ∩ C) = 2/52 (красные короли)
  • P(B ∩ C) = 4/52 (все короли являются картинками)
  • P(A ∩ B ∩ C) = 2/52 (красные короли)

Подставляем в формулу: P(A ∪ B ∪ C) = (26/52 + 12/52 + 4/52) - (6/52 + 2/52 + 4/52) + 2/52 P(A ∪ B ∪ C) = (42/52) - (12/52) + 2/52 = 30/52 + 2/52 = 32/52 = 8/13.

Основные понятия

  • Событие: Исход или результат эксперимента (например, “выпал орел”).
  • Вероятность: Численная мера возможности наступления события, принимающая значения от 0 (невозможно) до 1 (достоверно).
  • Несовместные события: События, которые не могут произойти вместе. Если одно произошло, другое невозможно.
  • Совместные события: События, которые могут произойти одновременно.
  • Пересечение событий (A ∩ B): Событие, состоящее в том, что произошли и событие A, и событие B.

Частые ошибки при расчете

❌ Ошибка 1: Простое сложение вероятностей совместных событий.

Самая распространенная ошибка — складывать P(A), P(B) и P(C) для совместных событий. Это приводит к завышенному результату, так как общие исходы (пересечения) подсчитываются несколько раз. Всегда сначала определяйте тип событий.

❌ Ошибка 2: Неправильное вычисление пересечений.

Для независимых событий P(A ∩ B) = P(A) _ P(B). Но для зависимых событий это не так. Например, вероятность вытащить двух тузов подряд без возвращения карты в колоду: P(первый туз) _ P(второй туз | первый был тузом) = (4/52) * (3/51).

Заключение

Правильный расчет суммы трех вероятностей требует четкого понимания природы событий. Первый и самый важный шаг — определить, являются ли они несовместными или совместными. Это определит, нужно ли использовать простую или полную формулу сложения, и гарантирует точность ваших вычислений.

Данный материал носит справочный характер и не является профессиональной консультацией. Результаты расчетов носят информационный характер.

Часто задаваемые вопросы

Что такое сумма вероятностей?

Сумма вероятностей — это термин, который обычно означает вероятность наступления хотя бы одного из нескольких событий. Например, вероятность того, что при броске кубика выпадет 2, 4 или 6.

Когда можно просто сложить три вероятности?

Простое сложение P(A) + P(B) + P(C) работает только для несовместных событий — тех, которые не могут произойти одновременно. Например, выпадение определенного числа на одном кубике.

Что делать, если события зависимы?

Основная формула сложения вероятностей остается верной. Однако для вычисления вероятностей пересечения (P(A и B)) нужно учитывать зависимость, используя условную вероятность: P(A и B) = P(A) * P(B|A).

Может ли сумма вероятностей быть больше 1?

Нет, итоговая вероятность события не может превышать 1. Если вы сложили вероятности и получили число больше 1, значит, события являются совместными, и вы не учли их пересечения, которые необходимо вычесть.

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.