Сторона равностороннего треугольника: найти радиус

В равностороннем треугольнике все стороны равны, а углы по 60°. Чтобы найти его основные радиусы, достаточно знать длину одной стороны – обозначим её a.

  • Радиус вписанной окружности r (окружность, касающаяся всех сторон изнутри):
$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$
  • Радиус описанной окружности R (окружность, проходящая через все три вершины):
$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Чтобы сразу получить оба значения для конкретного числа, введите длину стороны в калькулятор ниже.

Параметры треугольника Введите длину стороны. Формулы работают для любых единиц измерения (см, м, мм)

Радиус описанной окружности (R)

6,9282

Формула: a√3/3 ≈ 0,577a

Радиус вписанной окружности (r)

3,4641

Формула: a√3/6 ≈ 0,289a
Высота треугольника (h)
10,3923 (${a}√3/2)
Площадь треугольника (S)
62,3538 (${a}²√3/4)
Соотношение R/r
2 R всегда ровно в 2 раза больше r
Расстояние между центрами окружностей
0 В равностороннем треугольнике центры совпадают

Как найти радиус равностороннего треугольника по стороне?

По сути, задача сводится к двум формулам:

Что ищемФормула
Вписанная окружность r$a\sqrt{3} \mathbin{/} 6$
Описанная окружность R$a\sqrt{3} \mathbin{/} 3$

Важно помнить: R всегда в 2 раза больше r. Это следствие геометрии центра треугольника, где медианы, биссектрисы и высоты пересекаются в одной точке.

Как вывести формулу радиуса через высоту?

Высота h равностороннего треугольника равна:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

В нём высота одновременно является медианой и биссектрисой. Центр тяжести – центроид – делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

  • R – расстояние от центра до вершины, то есть большая часть медианы:
$$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$
  • r – расстояние от центра до середины стороны, то есть меньшая часть медианы:
$$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Отсюда и получается строгое соотношение $R = 2r$.

Числовой пример для стороны 12 см

Пусть $a = 12$ см.

  • $R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ см
  • $r = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ см

Проверка: $6{,}93 \approx 2 \cdot 3{,}46$. Соотношение $R = 2r$ выполняется.

Почему радиус описанной окружности в два раза больше вписанной?

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта общая точка лежит на двух третях медианы от вершины и на одной трети от основания. Поэтому путь до вершины ровно вдвое длиннее пути до стороны. Это свойство работает только при равенстве всех сторон и углов.

Шпаргалка: формулы и соотношения

ВеличинаТочная формулаПриближённое значение
$R$$a\sqrt{3} \mathbin{/} 3$$0{,}577a$
$r$$a\sqrt{3} \mathbin{/} 6$$0{,}289a$
$h$$a\sqrt{3} \mathbin{/} 2$$0{,}866a$

Соотношения:

  • $R = 2r$
  • $h = R + r = \frac{3}{2}R = 3r$

Типичные ошибки при расчётах

  • Путают R и r. Помните: описанная окружность охватывает треугольник снаружи, поэтому её радиус больше.
  • Применяют формулы к неравносторонним фигурам. Для равнобедренного или произвольного треугольника нужна общая формула $R = \frac{abc}{4S}$.
  • Забывают знаменатель. Легко перепутать деление на 3 и на 6. Если сомневаетесь, проверьте через высоту: $R = \frac{2}{3}h$, а $r = \frac{1}{3}h$.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти радиус, зная только высоту треугольника?
Да. В равностороннем треугольнике точка пересечения высот делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, R = 2/3 h, а r = 1/3 h.
Чему равен радиус описанной окружности при стороне a?
Радиус описанной окружности R = a√3 ⁄ 3. Это расстояние от центра треугольника до любой его вершины.
Во сколько раз радиус описанной окружности больше вписанной?
Всегда ровно в 2 раза. Соотношение R = 2r верно для любого равностороннего треугольника, независимо от длины стороны.
Какая связь между радиусом и площадью равностороннего треугольника?
Площадь удобно выражать через один из радиусов: S = 3√3 R² ⁄ 4 либо S = 3√3 r². Это позволяет находить сторону, если известен только радиус.
Подходят ли формулы R = a√3/3 для равнобедренного треугольника?
Нет, это частный случай только для равностороннего. Для равнобедренного или произвольного треугольника используют общую формулу R = abc ⁄ 4S.
Где находится центр окружности в равностороннем треугольнике?
В точке пересечения медиан, биссектрис и высот – центроиде. Для равностороннего треугольника эта точка одновременно служит центром и вписанной, и описанной окружностей.
  1. Как найти периметр: формулы и примеры для всех фигур
  2. Периметр треугольника в см: формула, примеры, калькулятор
  3. Как найти биссектрису треугольника ABC: все способы и формулы
  4. Как найти высоту треугольника по стороне и площади
  5. Острые углы прямоугольного треугольника: формулы и калькулятор
  6. Измерения геометрических фигур: формулы и расчёт