Степени числа 3

Что такое степень числа 3

Степень числа 3 — это результат возведения тройки в заданную степень n, то есть умножение числа 3 само на себя n раз. Обозначается как 3ⁿ, где n — показатель степени (целое, дробное или отрицательное число). Например, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81.

Степени тройки образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3 и широко используются в математике, информатике, физике. Знание первых 10–15 значений помогает в устных вычислениях, решении уравнений, анализе алгоритмов.

Таблица степеней числа 3

Для больших показателей используйте калькулятор — точность гарантирована, результат мгновенный.

Формулы и правила возведения в степень

Основная формула: 3ⁿ = 3 × 3 × … × 3 (n сомножителей).

Правила:

• Нулевая степень: 3⁰ = 1 (для любого ненулевого основания).
• Отрицательная степень: 3⁻ⁿ = 1 / 3ⁿ. Пример: 3⁻² = 1/9 ≈ 0,111.
• Дробная степень: 3^(m/n) = ⁿ√(3^m). Пример: 3^(1/2) = √3 ≈ 1,732.
• Умножение степеней: 3ᵃ × 3ᵇ = 3^(a+b). Пример: 3² × 3³ = 3⁵ = 243.
• Деление степеней: 3ᵃ / 3ᵇ = 3^(a−b). Пример: 3⁵ / 3² = 3³ = 27.
• Степень степени: (3ᵃ)ᵇ = 3^(a×b). Пример: (3²)³ = 3⁶ = 729.

Примеры расчета степеней тройки

Пример 1: Найти 3⁴.
Решение: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 9 = 81.
Ответ: 81.

Пример 2: Вычислить 3⁻³.
Решение: 3⁻³ = 1 / 3³ = 1 / 27 ≈ 0,037.
Ответ: 1/27 или 0,037.

Пример 3: Упростить 3⁵ × 3².
Решение: 3⁵ × 3² = 3^(5+2) = 3⁷ = 2 187.
Ответ: 2 187.

Пример 4: Найти (3³)².
Решение: (3³)² = 3^(3×2) = 3⁶ = 729.
Ответ: 729.

Применение степеней числа 3

• Информатика: Троичная система счисления (сбалансированная троичная), оценка сложности алгоритмов.
• Комбинаторика: Число исходов при трёх вариантах выбора для каждого из n элементов — 3ⁿ.
• Физика: Экспоненциальный рост (утроение популяции, радиоактивный распад с коэффициентом 3).
• Финансы: Расчёт сложных процентов при утроении капитала за период.
• Геометрия: Объём куба со стороной 3ⁿ или площади фракталов (например, кривая Коха).

Советы по работе со степенями тройки

• Запоминание: Первые 5 степеней (до 243) учите наизусть для быстрых вычислений.
• Проверка: Если результат чётный — ошибка, степени тройки всегда нечётны (кроме 3⁰=1).
• Калькулятор: Для n > 10 используйте онлайн-инструменты, чтобы избежать переполнения или округления.
• Логарифмы: Для решения уравнений 3ⁿ = x применяйте логарифм по основанию 3: n = log₃(x).
• Приближение: Для оценки 3ⁿ ≈ (10^0,477)ⁿ — полезно при больших показателях.

Заключение

Степени числа 3 — фундаментальная операция в математике, основа для прогрессий, комбинаторных задач, алгоритмов. Калькулятор на этой странице мгновенно считает любую степень тройки, показывает шаги и таблицу значений — идеальный инструмент для учёбы, работы, научных расчётов. Сохраните в закладки для быстрого доступа.

Часто задаваемые вопросы

Смотрите также

Мы подобрали калькуляторы, которые помогут вам с разными задачами, связанными с текущей темой.